{c}{3.90x+y=359.70}{-1.80x-y=-131} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { 3.90 x + y = 359.70 } \\ { - 1.80 x - y = - 131 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{2287}{21} = 108\frac{19}{21} \approx 108.904761905$$

$$y = -\frac{2276}{35} = -65\frac{1}{35} \approx -65.028571429$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3.9x+y=359.7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3.9x=-y+359.7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3.9తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{10}{39}\left(-y+359.7\right)$$

\frac{10}{39} సార్లు -y+359.7ని గుణించండి.

$$x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -1.8x-y=-131.

$$-1.8\left(-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}\right)-y=-131$$

-1.8 సార్లు -\frac{10y}{39}+\frac{1199}{13}ని గుణించండి.

$$\frac{6}{13}y-\frac{10791}{65}-y=-131$$

-yకు \frac{6y}{13}ని కూడండి.

$$-\frac{7}{13}y-\frac{10791}{65}=-131$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{10791}{65}ని కూడండి.

$$-\frac{7}{13}y=\frac{2276}{65}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{7}{13}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

x=-\frac{10}{39}y+\frac{1199}{13}లో yను -\frac{2276}{35} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{10}{39}\left(-\frac{2276}{35}\right)+\frac{1199}{13}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{10}{39} సార్లు -\frac{2276}{35}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{4552}{273}+\frac{1199}{13}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{4552}{273}కు \frac{1199}{13}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{2287}{21}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.9&1\\-1.8&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&-\frac{1}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\\-\frac{-1.8}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}&\frac{3.9}{3.9\left(-1\right)-\left(-1.8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}&\frac{10}{21}\\-\frac{6}{7}&-\frac{13}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}359.7\\-131\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{21}\times 359.7+\frac{10}{21}\left(-131\right)\\-\frac{6}{7}\times 359.7-\frac{13}{7}\left(-131\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2287}{21}\\-\frac{2276}{35}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3.9x+y=359.7,-1.8x-y=-131$$

\frac{39x}{10} మరియు -\frac{9x}{5}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -1.8తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3.9తో గుణించండి.

$$-1.8\times 3.9x-1.8y=-1.8\times 359.7,3.9\left(-1.8\right)x+3.9\left(-1\right)y=3.9\left(-131\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-7.02x-1.8y=-647.46,-7.02x-3.9y=-510.9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -7.02x-3.9y=-510.9ని -7.02x-1.8y=-647.46 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-7.02x+7.02x-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

\frac{351x}{50}కు -\frac{351x}{50}ని కూడండి. -\frac{351x}{50} మరియు \frac{351x}{50} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-1.8y+3.9y=-647.46+510.9$$

\frac{39y}{10}కు -\frac{9y}{5}ని కూడండి.

$$2.1y=-647.46+510.9$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా 510.9కు -647.46ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$2.1y=-136.56$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2.1తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{2276}{35}$$

-1.8x-y=-131లో yను -\frac{2276}{35} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-1.8x-\left(-\frac{2276}{35}\right)=-131$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2276}{35}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-1.8x=-\frac{6861}{35}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -1.8తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{2287}{21}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{2287}{21},y=-\frac{2276}{35}$$