{c}{3x+y+5=0}{-2x-y+1=0} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + y + 5 = 0 } \\ { - 2 x - y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-6$$

$$y=13$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+y+5=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+y=-5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-y-5$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-y-5\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -y-5ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y-5}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x-y+1=0.

$$-2\left(-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}\right)-y+1=0$$

-2 సార్లు \frac{-y-5}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{2}{3}y+\frac{10}{3}-y+1=0$$

-yకు \frac{2y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}+1=0$$

1కు \frac{10}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{13}{3}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{13}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{13}{3}$$

రెండు వైపులా -3తో గుణించండి.

$$y=13$$

x=-\frac{1}{3}y-\frac{5}{3}లో yను 13 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{3}\times 13-\frac{5}{3}$$

-\frac{1}{3} సార్లు 13ని గుణించండి.

$$x=\frac{-13-5}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{13}{3}కు -\frac{5}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-6,y=13$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&1\\-2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\-2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-1\\-2\left(-5\right)-3\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\13\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-6,y=13$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+y+5=0,-2x-y+1=0$$

3x మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$-2\times 3x-2y-2\times 5=0,3\left(-2\right)x+3\left(-1\right)y+3=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-6x-2y-10=0,-6x-3y+3=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -6x-3y+3=0ని -6x-2y-10=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x+6x-2y+3y-10-3=0$$

6xకు -6xని కూడండి. -6x మరియు 6x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-2y+3y-10-3=0$$

3yకు -2yని కూడండి.

$$y-10-3=0$$

-3కు -10ని కూడండి.

$$y-13=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 13ని కూడండి.

$$y=13$$

-2x-y+1=0లో yను 13 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x-13+1=0$$

1కు -13ని కూడండి.

$$-2x-12=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$-2x=12$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-6,y=13$$