{c}{3x+2y=32}{365x+226y=267.6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 32 } \\ { 365 x + 226 y = 267.6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{8371}{65} = -128\frac{51}{65} \approx -128.784615385$$

$$y = \frac{27193}{130} = 209\frac{23}{130} \approx 209.176923077$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+2y=32$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-2y+32$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+32\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -2y+32ని గుణించండి.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-2y+32}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 365x+226y=267.6.

$$365\left(-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}\right)+226y=267.6$$

365 సార్లు \frac{-2y+32}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{730}{3}y+\frac{11680}{3}+226y=267.6$$

226yకు -\frac{730y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{52}{3}y+\frac{11680}{3}=267.6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{11680}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{52}{3}y=-\frac{54386}{15}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{52}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{27193}{130}$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{32}{3}లో yను \frac{27193}{130} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{2}{3}\times \frac{27193}{130}+\frac{32}{3}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{2}{3} సార్లు \frac{27193}{130}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{27193}{195}+\frac{32}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{27193}{195}కు \frac{32}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\365&226\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{226}{3\times 226-2\times 365}&-\frac{2}{3\times 226-2\times 365}\\-\frac{365}{3\times 226-2\times 365}&\frac{3}{3\times 226-2\times 365}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}&\frac{1}{26}\\\frac{365}{52}&-\frac{3}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}32\\267.6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{113}{26}\times 32+\frac{1}{26}\times 267.6\\\frac{365}{52}\times 32-\frac{3}{52}\times 267.6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8371}{65}\\\frac{27193}{130}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+2y=32,365x+226y=267.6$$

3x మరియు 365xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 365తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$365\times 3x+365\times 2y=365\times 32,3\times 365x+3\times 226y=3\times 267.6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$1095x+730y=11680,1095x+678y=802.8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 1095x+678y=802.8ని 1095x+730y=11680 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$1095x-1095x+730y-678y=11680-802.8$$

-1095xకు 1095xని కూడండి. 1095x మరియు -1095x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$730y-678y=11680-802.8$$

-678yకు 730yని కూడండి.

$$52y=11680-802.8$$

-802.8కు 11680ని కూడండి.

$$52y=10877.2$$

రెండు వైపులా 52తో భాగించండి.

$$y=\frac{27193}{130}$$

365x+226y=267.6లో yను \frac{27193}{130} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$365x+226\times \frac{27193}{130}=267.6$$

226 సార్లు \frac{27193}{130}ని గుణించండి.

$$365x+\frac{3072809}{65}=267.6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3072809}{65}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$365x=-\frac{611083}{13}$$

రెండు వైపులా 365తో భాగించండి.

$$x=-\frac{8371}{65}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{8371}{65},y=\frac{27193}{130}$$