{c}{0.9x+0.49y=605}{x+y=1000} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { 0.9 x + 0.49 y = 605 } \\ { x + y = 1000 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{11500}{41} = 280\frac{20}{41} \approx 280.487804878$$

$$y = \frac{29500}{41} = 719\frac{21}{41} \approx 719.512195122$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$0.9x+0.49y=605$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{49y}{100}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.9x=-0.49y+605$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.9తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{10}{9}\left(-0.49y+605\right)$$

\frac{10}{9} సార్లు -\frac{49y}{100}+605ని గుణించండి.

$$x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{49y}{90}+\frac{6050}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=1000.

$$-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}+y=1000$$

yకు -\frac{49y}{90}ని కూడండి.

$$\frac{41}{90}y+\frac{6050}{9}=1000$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{6050}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{41}{90}y=\frac{2950}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{41}{90}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{29500}{41}$$

x=-\frac{49}{90}y+\frac{6050}{9}లో yను \frac{29500}{41} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{49}{90}\times \frac{29500}{41}+\frac{6050}{9}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{49}{90} సార్లు \frac{29500}{41}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{144550}{369}+\frac{6050}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{144550}{369}కు \frac{6050}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{11500}{41}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.9&0.49\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.9-0.49}&-\frac{0.49}{0.9-0.49}\\-\frac{1}{0.9-0.49}&\frac{0.9}{0.9-0.49}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}&-\frac{49}{41}\\-\frac{100}{41}&\frac{90}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}605\\1000\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{100}{41}\times 605-\frac{49}{41}\times 1000\\-\frac{100}{41}\times 605+\frac{90}{41}\times 1000\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{11500}{41}\\\frac{29500}{41}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.9x+0.49y=605,x+y=1000$$

\frac{9x}{10} మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 0.9తో గుణించండి.

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=0.9\times 1000$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$0.9x+0.49y=605,0.9x+0.9y=900$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.9x+0.9y=900ని 0.9x+0.49y=605 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.9x-0.9x+0.49y-0.9y=605-900$$

-\frac{9x}{10}కు \frac{9x}{10}ని కూడండి. \frac{9x}{10} మరియు -\frac{9x}{10} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$0.49y-0.9y=605-900$$

-\frac{9y}{10}కు \frac{49y}{100}ని కూడండి.

$$-0.41y=605-900$$

-900కు 605ని కూడండి.

$$-0.41y=-295$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -0.41తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{29500}{41}$$

x+y=1000లో yను \frac{29500}{41} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{29500}{41}=1000$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{29500}{41}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{11500}{41}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{11500}{41},y=\frac{29500}{41}$$