{c}{-3x+4y=20}{6x+3y=15} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { - 3 x + 4 y = 20 } \\ { 6 x + 3 y = 15 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=0$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-3x+4y=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x=-4y+20$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{3}\left(-4y+20\right)$$

-\frac{1}{3} సార్లు -4y+20ని గుణించండి.

$$x=\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-20+4y}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x+3y=15.

$$6\left(\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}\right)+3y=15$$

6 సార్లు \frac{-20+4y}{3}ని గుణించండి.

$$8y-40+3y=15$$

3yకు 8yని కూడండి.

$$11y-40=15$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 40ని కూడండి.

$$11y=55$$

రెండు వైపులా 11తో భాగించండి.

$$y=5$$

x=\frac{4}{3}y-\frac{20}{3}లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{4}{3}\times 5-\frac{20}{3}$$

\frac{4}{3} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{20-20}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{20}{3}కు -\frac{20}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-3\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{-3\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{-3\times 3-4\times 6}&-\frac{3}{-3\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{4}{33}\\\frac{2}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\15\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\times 20+\frac{4}{33}\times 15\\\frac{2}{11}\times 20+\frac{1}{11}\times 15\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=0,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-3x+4y=20,6x+3y=15$$

-3x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి.

$$6\left(-3\right)x+6\times 4y=6\times 20,-3\times 6x-3\times 3y=-3\times 15$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-18x+24y=120,-18x-9y=-45$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -18x-9y=-45ని -18x+24y=120 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-18x+18x+24y+9y=120+45$$

18xకు -18xని కూడండి. -18x మరియు 18x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$24y+9y=120+45$$

9yకు 24yని కూడండి.

$$33y=120+45$$

45కు 120ని కూడండి.

$$33y=165$$

రెండు వైపులా 33తో భాగించండి.

$$y=5$$

6x+3y=15లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x+3\times 5=15$$

3 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$6x+15=15$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 15ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=0$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=5$$