{c}{-2x+9y=8}{x-2y=6} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=14$$

$$y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-2x+9y=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-9y+8$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

-\frac{1}{2} సార్లు -9y+8ని గుణించండి.

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{9y}{2}-4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x-2y=6.

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

-2yకు \frac{9y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.

$$\frac{5}{2}y=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=4$$

x=\frac{9}{2}y-4లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

\frac{9}{2} సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=18-4$$

18కు -4ని కూడండి.

$$x=14$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=14,y=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=14,y=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

-2x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి.

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2x+4y=-12ని -2x+9y=8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

2xకు -2xని కూడండి. -2x మరియు 2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$9y-4y=8+12$$

-4yకు 9yని కూడండి.

$$5y=8+12$$

12కు 8ని కూడండి.

$$5y=20$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$y=4$$

x-2y=6లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-2\times 4=6$$

-2 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x-8=6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$x=14$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=14,y=4$$