{c}{1/3+a+b+4=-9}{1+2a+b=5} పరిష్కరించండి

$$\left. \begin{array} { c } { \frac { 1 } { 3 } + a + b + 4 = - 9 } \\ { 1 + 2 a + b = 5 } \end{array} \right.$$

a, bని పరిష్కరించండి

$$a = \frac{52}{3} = 17\frac{1}{3} \approx 17.333333333$$

$$b = -\frac{92}{3} = -30\frac{2}{3} \approx -30.666666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$a+b+\frac{13}{3}=-9,2a+b+1=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న aని వేరు చేయడం ద్వారా aని పరిష్కరించండి.

$$a+b+\frac{13}{3}=-9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{13}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a+b=-\frac{40}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి bని వ్యవకలనం చేయండి.

$$a=-b-\frac{40}{3}$$

మరొక సమీకరణములో aను -b-\frac{40}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2a+b+1=5.

$$2\left(-b-\frac{40}{3}\right)+b+1=5$$

2 సార్లు -b-\frac{40}{3}ని గుణించండి.

$$-2b-\frac{80}{3}+b+1=5$$

bకు -2bని కూడండి.

$$-b-\frac{80}{3}+1=5$$

1కు -\frac{80}{3}ని కూడండి.

$$-b-\frac{77}{3}=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{77}{3}ని కూడండి.

$$-b=\frac{92}{3}$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$b=-\frac{92}{3}$$

a=-b-\frac{40}{3}లో bను -\frac{92}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$a=-\left(-\frac{92}{3}\right)-\frac{40}{3}$$

-1 సార్లు -\frac{92}{3}ని గుణించండి.

$$a=\frac{92-40}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{92}{3}కు -\frac{40}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$a=\frac{52}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{52}{3},b=-\frac{92}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$a+b+\frac{13}{3}=-9,2a+b+1=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2}&-\frac{1}{1-2}\\-\frac{2}{1-2}&\frac{1}{1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{40}{3}\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-\frac{40}{3}\right)+4\\2\left(-\frac{40}{3}\right)-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{52}{3}\\-\frac{92}{3}\end{matrix}\right)$$

a మరియు b మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$a=\frac{52}{3},b=-\frac{92}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$a+b+\frac{13}{3}=-9,2a+b+1=5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2a+b+1=5ని a+b+\frac{13}{3}=-9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$a-2a+b-b+\frac{13}{3}-1=-9-5$$

-bకు bని కూడండి. b మరియు -b విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$a-2a+\frac{13}{3}-1=-9-5$$

-2aకు aని కూడండి.

$$-a+\frac{13}{3}-1=-9-5$$

-1కు \frac{13}{3}ని కూడండి.

$$-a+\frac{10}{3}=-9-5$$

-5కు -9ని కూడండి.

$$-a+\frac{10}{3}=-14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{10}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-a=-\frac{52}{3}$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$a=\frac{52}{3}$$

2a+b+1=5లో aను \frac{52}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు bని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2\times \frac{52}{3}+b+1=5$$

2 సార్లు \frac{52}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{104}{3}+b+1=5$$

1కు \frac{104}{3}ని కూడండి.

$$b+\frac{107}{3}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{107}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$b=-\frac{92}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$a=\frac{52}{3},b=-\frac{92}{3}$$