{l}{6x-y=-23}{-8x-4y=4} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 6 x - y = - 23 }\\{ - 8 x - 4 y = 4 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-3$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x-y=-23$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$6x=y-23$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(y-23\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు y-23ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-23+y}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -8x-4y=4.

$$-8\left(\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}\right)-4y=4$$

-8 సార్లు \frac{-23+y}{6}ని గుణించండి.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{92}{3}-4y=4$$

-4yకు -\frac{4y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{16}{3}y+\frac{92}{3}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{92}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{16}{3}y=-\frac{80}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{16}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=5$$

x=\frac{1}{6}y-\frac{23}{6}లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{6}\times 5-\frac{23}{6}$$

\frac{1}{6} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{5-23}{6}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{5}{6}కు -\frac{23}{6}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-3,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-1\\-8&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&-\frac{-1}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\\-\frac{-8}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}&\frac{6}{6\left(-4\right)-\left(-\left(-8\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&-\frac{1}{32}\\-\frac{1}{4}&-\frac{3}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}\left(-23\right)-\frac{1}{32}\times 4\\-\frac{1}{4}\left(-23\right)-\frac{3}{16}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-3,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x-y=-23,-8x-4y=4$$

6x మరియు -8xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -8తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$-8\times 6x-8\left(-1\right)y=-8\left(-23\right),6\left(-8\right)x+6\left(-4\right)y=6\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-48x+8y=184,-48x-24y=24$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -48x-24y=24ని -48x+8y=184 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-48x+48x+8y+24y=184-24$$

48xకు -48xని కూడండి. -48x మరియు 48x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$8y+24y=184-24$$

24yకు 8yని కూడండి.

$$32y=184-24$$

-24కు 184ని కూడండి.

$$32y=160$$

రెండు వైపులా 32తో భాగించండి.

$$y=5$$

-8x-4y=4లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-8x-4\times 5=4$$

-4 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$-8x-20=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 20ని కూడండి.

$$-8x=24$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=-3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-3,y=5$$