{l}{4x-y=11}{-2x+3y=-3} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 4 x - y = 11 }\\{ - 2 x + 3 y = - 3 }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x-y=11$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$4x=y+11$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+11\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు y+11ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{11+y}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x+3y=-3.

$$-2\left(\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}\right)+3y=-3$$

-2 సార్లు \frac{11+y}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{1}{2}y-\frac{11}{2}+3y=-3$$

3yకు -\frac{y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{5}{2}y-\frac{11}{2}=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{2}ని కూడండి.

$$\frac{5}{2}y=\frac{5}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=1$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{11}{4}లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1+11}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{4}కు \frac{11}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\-2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\-3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{10}\times 11+\frac{1}{10}\left(-3\right)\\\frac{1}{5}\times 11+\frac{2}{5}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x-y=11,-2x+3y=-3$$

4x మరియు -2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$-2\times 4x-2\left(-1\right)y=-2\times 11,4\left(-2\right)x+4\times 3y=4\left(-3\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-8x+2y=-22,-8x+12y=-12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -8x+12y=-12ని -8x+2y=-22 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-8x+8x+2y-12y=-22+12$$

8xకు -8xని కూడండి. -8x మరియు 8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2y-12y=-22+12$$

-12yకు 2yని కూడండి.

$$-10y=-22+12$$

12కు -22ని కూడండి.

$$-10y=-10$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$y=1$$

-2x+3y=-3లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2x+3=-3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-2x=-6$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=1$$