{l}{2(x-y)-3=3x+4yD}{x+y=2(2)} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array}{l}{ 2 ( x - y ) - 3 = 3 x + 4 y D }\\{ x + y = 2 ( 2 ) }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

$$D\neq -\frac{1}{4}$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

-xని పొందడం కోసం 2x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$-x-2y-3=4yD$$

రెండు భాగాల నుండి 4yDని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x-2y-3-4yD=0$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-x-2y-4yD=3$$

x,y ఉన్న అన్ని విలువలను జత చేయండి.

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$x+y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -2y-4yDని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x=\left(4D+2\right)y+3$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$x=-\left(\left(4D+2\right)y+3\right)$$

-1 సార్లు 2y+4yD+3ని గుణించండి.

$$x=\left(-4D-2\right)y-3$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y-4yD-3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=4.

$$\left(-4D-2\right)y-3+y=4$$

yకు -2y-4yDని కూడండి.

$$\left(-4D-1\right)y-3=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$\left(-4D-1\right)y=7$$

రెండు వైపులా -1-4Dతో భాగించండి.

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

x=\left(-4D-2\right)y-3లో yను -\frac{7}{1+4D} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-4D-2\right)\left(-\frac{7}{4D+1}\right)-3$$

-2-4D సార్లు -\frac{7}{1+4D}ని గుణించండి.

$$x=\frac{14\left(2D+1\right)}{4D+1}-3$$

\frac{14\left(1+2D\right)}{1+4D}కు -3ని కూడండి.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

-xని పొందడం కోసం 2x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$-x-2y-3=4yD$$

రెండు భాగాల నుండి 4yDని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x-2y-3-4yD=0$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-x-2y-4yD=3$$

x,y ఉన్న అన్ని విలువలను జత చేయండి.

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$x+y=4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-1&-2-4D\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-1&-4D-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}&-\frac{-4D-2}{-1-\left(-4D-2\right)}\\-\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}&-\frac{1}{-1-\left(-4D-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4D+1}&\frac{2\left(2D+1\right)}{4D+1}\\-\frac{1}{4D+1}&-\frac{1}{4D+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4D+1}\times 3+\frac{2\left(2D+1\right)}{4D+1}\times 4\\\left(-\frac{1}{4D+1}\right)\times 3+\left(-\frac{1}{4D+1}\right)\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16D+11}{4D+1}\\-\frac{7}{4D+1}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-2y-3=3x+4yD$$

రెండు భాగాల నుండి 3xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2y-3-3x=4yD$$

-xని పొందడం కోసం 2x మరియు -3xని జత చేయండి.

$$-x-2y-3=4yD$$

రెండు భాగాల నుండి 4yDని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x-2y-3-4yD=0$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-x-2y-4yD=3$$

x,y ఉన్న అన్ని విలువలను జత చేయండి.

$$-x+\left(-2-4D\right)y=3$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$x+y=4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,x+y=4$$

-x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -1తో గుణించండి.

$$-x+\left(-4D-2\right)y=3,-x-y=-4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -x-y=-4ని -x+\left(-4D-2\right)y=3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x+x+\left(-4D-2\right)y+y=3+4$$

xకు -xని కూడండి. -x మరియు x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-4D-2\right)y+y=3+4$$

yకు -2y-4yDని కూడండి.

$$\left(-4D-1\right)y=3+4$$

4కు 3ని కూడండి.

$$\left(-4D-1\right)y=7$$

రెండు వైపులా -1-4Dతో భాగించండి.

$$y=-\frac{7}{4D+1}$$

x+y=4లో yను -\frac{7}{1+4D} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-\frac{7}{4D+1}=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{1+4D}ని కూడండి.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{16D+11}{4D+1},y=-\frac{7}{4D+1}$$