{l}{x/3+y/4=5/6}{3x+20y/5-frac{8y+1}{3}=frac{12x+16y}{15}} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array}{l}{ \frac { x } { 3 } + \frac { y } { 4 } = \frac { 5 } { 6 } }\\{ \frac { 3 x + 20 y } { 5 } - \frac { 8 y + 1 } { 3 } = \frac { 12 x + 16 y } { 15 } }\end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3x+20yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

8y+1తో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20yని పొందడం కోసం 60y మరియు -40yని జత చేయండి.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

రెండు భాగాల నుండి 12xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3xని పొందడం కోసం 9x మరియు -12xని జత చేయండి.

$$-3x+20y-5=16y$$

రెండు భాగాల నుండి 16yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4yని పొందడం కోసం 20y మరియు -16yని జత చేయండి.

$$-3x+4y-5=0$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-3x+4y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+3y=10$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-3y+10$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+10\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -3y+10ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3x+4y=5.

$$-3\left(-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y=5$$

-3 సార్లు -\frac{3y}{4}+\frac{5}{2}ని గుణించండి.

$$\frac{9}{4}y-\frac{15}{2}+4y=5$$

4yకు \frac{9y}{4}ని కూడండి.

$$\frac{25}{4}y-\frac{15}{2}=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{15}{2}ని కూడండి.

$$\frac{25}{4}y=\frac{25}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{25}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=2$$

x=-\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{4}\times 2+\frac{5}{2}$$

-\frac{3}{4} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{3}{2}కు \frac{5}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3x+20yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

8y+1తో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20yని పొందడం కోసం 60y మరియు -40yని జత చేయండి.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

రెండు భాగాల నుండి 12xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3xని పొందడం కోసం 9x మరియు -12xని జత చేయండి.

$$-3x+20y-5=16y$$

రెండు భాగాల నుండి 16yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4yని పొందడం కోసం 20y మరియు -16yని జత చేయండి.

$$-3x+4y-5=0$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-3x+4y=5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{4\times 4-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\times 4-3\left(-3\right)}&\frac{4}{4\times 4-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&-\frac{3}{25}\\\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10-\frac{3}{25}\times 5\\\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,4,6.

$$4x+3y=10$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 15తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,3,15.

$$3\left(3x+20y\right)-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

3x+20yతో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x+60y-5\left(8y+1\right)=12x+16y$$

8y+1తో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x+60y-40y-5=12x+16y$$

20yని పొందడం కోసం 60y మరియు -40yని జత చేయండి.

$$9x+20y-5=12x+16y$$

రెండు భాగాల నుండి 12xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x+20y-5-12x=16y$$

-3xని పొందడం కోసం 9x మరియు -12xని జత చేయండి.

$$-3x+20y-5=16y$$

రెండు భాగాల నుండి 16yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+20y-5-16y=0$$

4yని పొందడం కోసం 20y మరియు -16yని జత చేయండి.

$$-3x+4y-5=0$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$-3x+4y=5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+3y=10,-3x+4y=5$$

4x మరియు -3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$-3\times 4x-3\times 3y=-3\times 10,4\left(-3\right)x+4\times 4y=4\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-12x-9y=-30,-12x+16y=20$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -12x+16y=20ని -12x-9y=-30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-12x+12x-9y-16y=-30-20$$

12xకు -12xని కూడండి. -12x మరియు 12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-9y-16y=-30-20$$

-16yకు -9yని కూడండి.

$$-25y=-30-20$$

-20కు -30ని కూడండి.

$$-25y=-50$$

రెండు వైపులా -25తో భాగించండి.

$$y=2$$

-3x+4y=5లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3x+4\times 2=5$$

4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$-3x+8=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x=-3$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=2$$