{r}{u-30v=-65}{-3u+80v=165} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { r } { u - 30 v = - 65 } \\ { - 3 u + 80 v = 165 } \end{array} \right.$$

u, vని పరిష్కరించండి

$$u=25$$

$$v=3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న uని వేరు చేయడం ద్వారా uని పరిష్కరించండి.

$$u-30v=-65$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 30vని కూడండి.

$$u=30v-65$$

మరొక సమీకరణములో uను 30v-65 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3u+80v=165.

$$-3\left(30v-65\right)+80v=165$$

-3 సార్లు 30v-65ని గుణించండి.

$$-90v+195+80v=165$$

80vకు -90vని కూడండి.

$$-10v+195=165$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 195ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-10v=-30$$

రెండు వైపులా -10తో భాగించండి.

$$v=3$$

u=30v-65లో vను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$u=30\times 3-65$$

30 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$u=90-65$$

90కు -65ని కూడండి.

$$u=25$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=25,v=3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-30\\-3&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&-\frac{-30}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{80-\left(-30\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8&-3\\-\frac{3}{10}&-\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-65\\165\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\left(-65\right)-3\times 165\\-\frac{3}{10}\left(-65\right)-\frac{1}{10}\times 165\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\3\end{matrix}\right)$$

u మరియు v మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$u=25,v=3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$u-30v=-65,-3u+80v=165$$

u మరియు -3uని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-3u-3\left(-30\right)v=-3\left(-65\right),-3u+80v=165$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-3u+90v=195,-3u+80v=165$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -3u+80v=165ని -3u+90v=195 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3u+3u+90v-80v=195-165$$

3uకు -3uని కూడండి. -3u మరియు 3u విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$90v-80v=195-165$$

-80vకు 90vని కూడండి.

$$10v=195-165$$

-165కు 195ని కూడండి.

$$10v=30$$

రెండు వైపులా 10తో భాగించండి.

$$v=3$$

-3u+80v=165లో vను 3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3u+80\times 3=165$$

80 సార్లు 3ని గుణించండి.

$$-3u+240=165$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 240ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3u=-75$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$u=25$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=25,v=3$$