{r}{3x-2y/3+4y=13/3}{2(-2y+x)/3-3x/2=-frac{13}{6}} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 3 x - 2 y } { 3 } + 4 y = \frac { 13 } { 3 } } \\ { \frac { 2 ( - 2 y + x ) } { 3 } - \frac { 3 x } { 2 } = - \frac { 13 } { 6 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$3x-2y+12y=13$$

10yని పొందడం కోసం -2y మరియు 12yని జత చేయండి.

$$3x+10y=13$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

-2y+xతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

-9ని పొందడం కోసం -3 మరియు 3ని గుణించండి.

$$-8y+4x-9x=-13$$

-5xని పొందడం కోసం 4x మరియు -9xని జత చేయండి.

$$-8y-5x=-13$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3x+10y=13$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 10yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-10y+13$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+13\right)$$

\frac{1}{3} సార్లు -10y+13ని గుణించండి.

$$x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-10y+13}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -5x-8y=-13.

$$-5\left(-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}\right)-8y=-13$$

-5 సార్లు \frac{-10y+13}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{50}{3}y-\frac{65}{3}-8y=-13$$

-8yకు \frac{50y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{26}{3}y-\frac{65}{3}=-13$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{65}{3}ని కూడండి.

$$\frac{26}{3}y=\frac{26}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{26}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=1$$

x=-\frac{10}{3}y+\frac{13}{3}లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{-10+13}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{10}{3}కు \frac{13}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$3x-2y+12y=13$$

10yని పొందడం కోసం -2y మరియు 12yని జత చేయండి.

$$3x+10y=13$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

-2y+xతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

-9ని పొందడం కోసం -3 మరియు 3ని గుణించండి.

$$-8y+4x-9x=-13$$

-5xని పొందడం కోసం 4x మరియు -9xని జత చేయండి.

$$-8y-5x=-13$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\-5&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&-\frac{10}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\\-\frac{-5}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}&\frac{3}{3\left(-8\right)-10\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{5}{26}&\frac{3}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\-13\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{13}\times 13-\frac{5}{13}\left(-13\right)\\\frac{5}{26}\times 13+\frac{3}{26}\left(-13\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$3x-2y+12y=13$$

10yని పొందడం కోసం -2y మరియు 12yని జత చేయండి.

$$3x+10y=13$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 3,2,6.

$$2\times 2\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

4ని పొందడం కోసం 2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$4\left(-2y+x\right)-3\times 3x=-13$$

-2y+xతో 4ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-8y+4x-3\times 3x=-13$$

-9ని పొందడం కోసం -3 మరియు 3ని గుణించండి.

$$-8y+4x-9x=-13$$

-5xని పొందడం కోసం 4x మరియు -9xని జత చేయండి.

$$-8y-5x=-13$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3x+10y=13,-5x-8y=-13$$

3x మరియు -5xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -5తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$-5\times 3x-5\times 10y=-5\times 13,3\left(-5\right)x+3\left(-8\right)y=3\left(-13\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-15x-50y=-65,-15x-24y=-39$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -15x-24y=-39ని -15x-50y=-65 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-15x+15x-50y+24y=-65+39$$

15xకు -15xని కూడండి. -15x మరియు 15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-50y+24y=-65+39$$

24yకు -50yని కూడండి.

$$-26y=-65+39$$

39కు -65ని కూడండి.

$$-26y=-26$$

రెండు వైపులా -26తో భాగించండి.

$$y=1$$

-5x-8y=-13లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-5x-8=-13$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8ని కూడండి.

$$-5x=-5$$

రెండు వైపులా -5తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=1$$