{r}{2x-1/2+y-3/3=11/6}{-2x/5+frac{y-1}{10}=-frac{6}{5}} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { r } { \frac { 2 x - 1 } { 2 } + \frac { y - 3 } { 3 } = \frac { 11 } { 6 } } \\ { - \frac { 2 x } { 5 } + \frac { y - 1 } { 10 } = - \frac { 6 } { 5 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3,6.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

2x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

y-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3+2y-6=11$$

-9ని పొందడం కోసం 6ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-9+2y=11$$

రెండు వైపులా 9ని జోడించండి.

$$6x+2y=11+9$$

20ని పొందడం కోసం 11 మరియు 9ని కూడండి.

$$6x+2y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,10.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-4ని పొందడం కోసం -2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$-4x+y-1=-12$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$-4x+y=-12+1$$

-11ని పొందడం కోసం -12 మరియు 1ని కూడండి.

$$-4x+y=-11$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x+2y=20$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-2y+20$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(-2y+20\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు -2y+20ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+10}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -4x+y=-11.

$$-4\left(-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}\right)+y=-11$$

-4 సార్లు \frac{-y+10}{3}ని గుణించండి.

$$\frac{4}{3}y-\frac{40}{3}+y=-11$$

yకు \frac{4y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{7}{3}y-\frac{40}{3}=-11$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{40}{3}ని కూడండి.

$$\frac{7}{3}y=\frac{7}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=1$$

x=-\frac{1}{3}y+\frac{10}{3}లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{-1+10}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{1}{3}కు \frac{10}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3,6.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

2x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

y-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3+2y-6=11$$

-9ని పొందడం కోసం 6ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-9+2y=11$$

రెండు వైపులా 9ని జోడించండి.

$$6x+2y=11+9$$

20ని పొందడం కోసం 11 మరియు 9ని కూడండి.

$$6x+2y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,10.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-4ని పొందడం కోసం -2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$-4x+y-1=-12$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$-4x+y=-12+1$$

-11ని పొందడం కోసం -12 మరియు 1ని కూడండి.

$$-4x+y=-11$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&2\\-4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-2\left(-4\right)}&-\frac{2}{6-2\left(-4\right)}\\-\frac{-4}{6-2\left(-4\right)}&\frac{6}{6-2\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&-\frac{1}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}20\\-11\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 20-\frac{1}{7}\left(-11\right)\\\frac{2}{7}\times 20+\frac{3}{7}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3,6.

$$3\left(2x-1\right)+2\left(y-3\right)=11$$

2x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3+2\left(y-3\right)=11$$

y-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-3+2y-6=11$$

-9ని పొందడం కోసం 6ని -3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-9+2y=11$$

రెండు వైపులా 9ని జోడించండి.

$$6x+2y=11+9$$

20ని పొందడం కోసం 11 మరియు 9ని కూడండి.

$$6x+2y=20$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 10తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 5,10.

$$-2\times 2x+y-1=-12$$

-4ని పొందడం కోసం -2 మరియు 2ని గుణించండి.

$$-4x+y-1=-12$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$-4x+y=-12+1$$

-11ని పొందడం కోసం -12 మరియు 1ని కూడండి.

$$-4x+y=-11$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x+2y=20,-4x+y=-11$$

6x మరియు -4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$-4\times 6x-4\times 2y=-4\times 20,6\left(-4\right)x+6y=6\left(-11\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-24x-8y=-80,-24x+6y=-66$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -24x+6y=-66ని -24x-8y=-80 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-24x+24x-8y-6y=-80+66$$

24xకు -24xని కూడండి. -24x మరియు 24x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-8y-6y=-80+66$$

-6yకు -8yని కూడండి.

$$-14y=-80+66$$

66కు -80ని కూడండి.

$$-14y=-14$$

రెండు వైపులా -14తో భాగించండి.

$$y=1$$

-4x+y=-11లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-4x+1=-11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x=-12$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=1$$