{l}{y=kx+b}{x^2/4+y^2=1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = k x + b } \\ { \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}$$

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }|k|\geq \frac{\sqrt{b^{2}-1}}{2}\text{ or }|b|<1$$

ప్రతిక్షేపణను మరియు చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి kxని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-kx=b$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 4తో గుణించండి.

$$x^{2}+4y^{2}=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y+\left(-k\right)x=b,x^{2}+4y^{2}=4$$

సమాన గుర్తు ఎడమ వైపున yని వేరు చేయడం ద్వారా y కోసం y+\left(-k\right)x=bని పరిష్కరించండి.

$$y+\left(-k\right)x=b$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \left(-k\right)xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=kx+b$$

మరొక సమీకరణములో yను kx+b స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(kx+b\right)^{2}=4$$

kx+b వర్గము.

$$x^{2}+4\left(k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}\right)=4$$

4 సార్లు k^{2}x^{2}+2bkx+b^{2}ని గుణించండి.

$$x^{2}+4k^{2}x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

4k^{2}x^{2}కు x^{2}ని కూడండి.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(4k^{2}+1\right)x^{2}+8bkx+4b^{2}-4=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1+4k^{2}, b స్థానంలో 4\times 2kb మరియు c స్థానంలో -4+4b^{2} ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{\left(8bk\right)^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

4\times 2kb వర్గము.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-4\left(4k^{2}+1\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4 సార్లు 1+4k^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}+\left(-16k^{2}-4\right)\left(4b^{2}-4\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-4-16k^{2} సార్లు -4+4b^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{64b^{2}k^{2}-16\left(b^{2}-1\right)\left(4k^{2}+1\right)}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16\left(1+4k^{2}\right)\left(b^{2}-1\right)కు 64k^{2}b^{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{-8bk±\sqrt{16+64k^{2}-16b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

-16b^{2}+64k^{2}+16 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{2\left(4k^{2}+1\right)}$$

2 సార్లు 1+4k^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}కు -8kbని కూడండి.

$$x=\frac{-8bk+4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2}తో -8bk+4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}ని భాగించండి.

$$x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-8bk±4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}ని -8kb నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-8bk-4\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}}{8k^{2}+2}$$

2+8k^{2}తో -8kb-4\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}ని భాగించండి.

$$x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x కోసం రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} మరియు -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}. సమీకరణం y=kx+bలో \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} బదులుగా xతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణాలకు సరిపోయే విధంగా yకు సంబంధితంగా ఉండే విలువను కనుగొనండి.

$$y=k\times \frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}+b$$

k సార్లు \frac{2\left(-2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}ని గుణించండి.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b$$

ఇప్పుడు సమీకరణము y=kx+bలో -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}} బదులుగా xతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణములకు సరిపోయే విధంగా yకు సంబంధితంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

$$y=k\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)+b$$

k సార్లు -\frac{2\left(2bk+\sqrt{-b^{2}+4k^{2}+1}\right)}{1+4k^{2}}ని గుణించండి.

$$y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}k+b,x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\right)k+b,x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2\left(2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{-2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{; }x=\frac{2\left(-2bk+\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}\right)}{4k^{2}+1}\text{, }y=\frac{2k\sqrt{1+4k^{2}-b^{2}}+b}{4k^{2}+1}\text{, }&k\neq -\frac{1}{2}i\text{ and }k\neq \frac{1}{2}i\\x=-\frac{b^{2}-1}{2bk}\text{, }y=\frac{b^{2}+1}{2b}\text{, }&b\neq 0\text{ and }\left(k=-\frac{1}{2}i\text{ or }k=\frac{1}{2}i\right)\end{matrix}\right.$$