{l}{y=4x+5}{4x-3y=3} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = 4 x + 5 } \\ { 4 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{9}{4} = -2\frac{1}{4} = -2.25$$

$$y=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-4x=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-4x=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4xని కూడండి.

$$y=4x+5$$

మరొక సమీకరణములో yను 4x+5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -3y+4x=3.

$$-3\left(4x+5\right)+4x=3$$

-3 సార్లు 4x+5ని గుణించండి.

$$-12x-15+4x=3$$

4xకు -12xని కూడండి.

$$-8x-15=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 15ని కూడండి.

$$-8x=18$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=-\frac{9}{4}$$

y=4x+5లో xను -\frac{9}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=4\left(-\frac{9}{4}\right)+5$$

4 సార్లు -\frac{9}{4}ని గుణించండి.

$$y=-9+5$$

-9కు 5ని కూడండి.

$$y=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-4x=5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-4\\-3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&-\frac{-4}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{4-\left(-4\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{8}&-\frac{1}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 5-\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{3}{8}\times 5-\frac{1}{8}\times 3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-\frac{9}{4}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-4x=5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-4x=5,-3y+4x=3$$

y మరియు -3yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-3y-3\left(-4\right)x=-3\times 5,-3y+4x=3$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-3y+12x=-15,-3y+4x=3$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -3y+4x=3ని -3y+12x=-15 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3y+3y+12x-4x=-15-3$$

3yకు -3yని కూడండి. -3y మరియు 3y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$12x-4x=-15-3$$

-4xకు 12xని కూడండి.

$$8x=-15-3$$

-3కు -15ని కూడండి.

$$8x=-18$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=-\frac{9}{4}$$

-3y+4x=3లో xను -\frac{9}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-3y+4\left(-\frac{9}{4}\right)=3$$

4 సార్లు -\frac{9}{4}ని గుణించండి.

$$-3y-9=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9ని కూడండి.

$$-3y=12$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=-4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-4,x=-\frac{9}{4}$$