{l}{y=5/2x+1}{y=5x+17} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 5 } { 2 } x + 1 } \\ { y = 5 x + 17 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{32}{5} = -6\frac{2}{5} = -6.4$$

$$y=-15$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-5x=17$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5x}{2}ని కూడండి.

$$y=\frac{5}{2}x+1$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{5x}{2}+1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y-5x=17.

$$\frac{5}{2}x+1-5x=17$$

-5xకు \frac{5x}{2}ని కూడండి.

$$-\frac{5}{2}x+1=17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{5}{2}x=16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{5}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{32}{5}$$

y=\frac{5}{2}x+1లో xను -\frac{32}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=\frac{5}{2}\left(-\frac{32}{5}\right)+1$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{5}{2} సార్లు -\frac{32}{5}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=-16+1$$

-16కు 1ని కూడండి.

$$y=-15$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-5x=17$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{5}{2}\\1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&-\frac{-\frac{5}{2}}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\\-\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}&\frac{1}{-5-\left(-\frac{5}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\\frac{2}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\17\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2-17\\\frac{2}{5}-\frac{2}{5}\times 17\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-15\\-\frac{32}{5}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{5}{2}x=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-5x=17$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$y-\frac{5}{2}x=1,y-5x=17$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y-5x=17ని y-\frac{5}{2}x=1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-y-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-\frac{5}{2}x+5x=1-17$$

5xకు -\frac{5x}{2}ని కూడండి.

$$\frac{5}{2}x=1-17$$

-17కు 1ని కూడండి.

$$\frac{5}{2}x=-16$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-\frac{32}{5}$$

y-5x=17లో xను -\frac{32}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y-5\left(-\frac{32}{5}\right)=17$$

-5 సార్లు -\frac{32}{5}ని గుణించండి.

$$y+32=17$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 32ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=-15$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=-15,x=-\frac{32}{5}$$