\left\{ \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 5 } \\ { y = - 2 x } \end{array} \right.
y, xని పరిష్కరించండి
x=-2
y=4
గ్రాఫ్
షేర్ చేయి
క్లిప్‌బోర్డ్‌కు కాపీ చేయబడింది
y-\frac{1}{2}x=5
మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.
y+2x=0
రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.
y-\frac{1}{2}x=5,y+2x=0
ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.
y-\frac{1}{2}x=5
సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.
y=\frac{1}{2}x+5
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{x}{2}ని కూడండి.
\frac{1}{2}x+5+2x=0
మరొక సమీకరణములో yను \frac{x}{2}+5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, y+2x=0.
\frac{5}{2}x+5=0
2xకు \frac{x}{2}ని కూడండి.
\frac{5}{2}x=-5
సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5ని వ్యవకలనం చేయండి.
x=-2
సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.
y=\frac{1}{2}\left(-2\right)+5
y=\frac{1}{2}x+5లో xను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.
y=-1+5
\frac{1}{2} సార్లు -2ని గుణించండి.
y=4
-1కు 5ని కూడండి.
y=4,x=-2
సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.
y-\frac{1}{2}x=5
మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.
y+2x=0
రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.
y-\frac{1}{2}x=5,y+2x=0
సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.
\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.
inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.
\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}&\frac{1}{2-\left(-\frac{1}{2}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\0\end{matrix}\right)
అంకగణితము చేయండి.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5}\times 5\\-\frac{2}{5}\times 5\end{matrix}\right)
మాత్రికలను గుణించండి.
\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-2\end{matrix}\right)
అంకగణితము చేయండి.
y=4,x=-2
y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.
y-\frac{1}{2}x=5
మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}xని వ్యవకలనం చేయండి.
y+2x=0
రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.
y-\frac{1}{2}x=5,y+2x=0
అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.
y-y-\frac{1}{2}x-2x=5
సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా y+2x=0ని y-\frac{1}{2}x=5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.
-\frac{1}{2}x-2x=5
-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.
-\frac{5}{2}x=5
-2xకు -\frac{x}{2}ని కూడండి.
x=-2
సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{5}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.
y+2\left(-2\right)=0
y+2x=0లో xను -2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.
y-4=0
2 సార్లు -2ని గుణించండి.
y=4
సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4ని కూడండి.
y=4,x=-2
సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.
ఉదాహరణలు
వర్గ సమీకరణం
{ x } ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0
త్రికోణమితి
4 \sin \theta \cos \theta = 2 \sin \theta
రేఖీయ సమీకరణం
y = 3x + 4
అరిథ్మెటిక్
699 * 533
మాత్రిక
\left[ \begin{array} { l l } { 2 } & { 3 } \\ { 5 } & { 4 } \end{array} \right] \left[ \begin{array} { l l l } { 2 } & { 0 } & { 3 } \\ { -1 } & { 1 } & { 5 } \end{array} \right]
ఏకకాల సమీకరణం
\left. \begin{cases} { 8x+2y = 46 } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.
అవకలనం
\frac { d } { d x } \frac { ( 3 x ^ { 2 } - 2 ) } { ( x - 5 ) }
అనుకలనం
\int _ { 0 } ^ { 1 } x e ^ { - x ^ { 2 } } d x
పరిమితులు
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}-9}{x^{2}+2 x-3}