{l}{x_{1}+x_{2}=97}{frac{x_{2}}{x_{1}}=2} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x _ { 1 } + x _ { 2 } = 97 } \\ { \frac { x _ { 2 } } { x _ { 1 } } = 2 } \end{array} \right.$$

x_1, x_2ని పరిష్కరించండి

$$x_{1} = \frac{97}{3} = 32\frac{1}{3} \approx 32.333333333$$

$$x_{2} = \frac{194}{3} = 64\frac{2}{3} \approx 64.666666667$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x_{1} అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా x_{1}తో గుణించండి.

$$x_{2}=2x_{1}$$

రెండు భాగాల నుండి 2x_{1}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న x_{1}ని వేరు చేయడం ద్వారా x_{1}ని పరిష్కరించండి.

$$x_{1}+x_{2}=97$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి x_{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{1}=-x_{2}+97$$

మరొక సమీకరణములో x_{1}ను -x_{2}+97 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -2x_{1}+x_{2}=0.

$$-2\left(-x_{2}+97\right)+x_{2}=0$$

-2 సార్లు -x_{2}+97ని గుణించండి.

$$2x_{2}-194+x_{2}=0$$

x_{2}కు 2x_{2}ని కూడండి.

$$3x_{2}-194=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 194ని కూడండి.

$$3x_{2}=194$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

x_{1}=-x_{2}+97లో x_{2}ను \frac{194}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{1}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x_{1}=-\frac{194}{3}+97$$

-\frac{194}{3}కు 97ని కూడండి.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x_{1} అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా x_{1}తో గుణించండి.

$$x_{2}=2x_{1}$$

రెండు భాగాల నుండి 2x_{1}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{1}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 97\\\frac{2}{3}\times 97\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{97}{3}\\\frac{194}{3}\end{matrix}\right)$$

x_{1} మరియు x_{2} మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x_{1} అన్నది 0కి సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా x_{1}తో గుణించండి.

$$x_{2}=2x_{1}$$

రెండు భాగాల నుండి 2x_{1}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{2}-2x_{1}=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x_{1}+x_{2}=97,-2x_{1}+x_{2}=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -2x_{1}+x_{2}=0ని x_{1}+x_{2}=97 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x_{1}+2x_{1}+x_{2}-x_{2}=97$$

-x_{2}కు x_{2}ని కూడండి. x_{2} మరియు -x_{2} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$x_{1}+2x_{1}=97$$

2x_{1}కు x_{1}ని కూడండి.

$$3x_{1}=97$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x_{1}=\frac{97}{3}$$

-2x_{1}+x_{2}=0లో x_{1}ను \frac{97}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు x_{2}ని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-2\times \frac{97}{3}+x_{2}=0$$

-2 సార్లు \frac{97}{3}ని గుణించండి.

$$-\frac{194}{3}+x_{2}=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{194}{3}ని కూడండి.

$$x_{2}=\frac{194}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x_{1}=\frac{97}{3},x_{2}=\frac{194}{3}$$