{l}{x-y=10}{2x+2,5y=200} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - y = 10 } \\ { 2 x + 2,5 y = 200 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=50$$

$$y=40$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-y=10$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా yని కూడండి.

$$x=y+10$$

మరొక సమీకరణములో xను y+10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+2.5y=200.

$$2\left(y+10\right)+2.5y=200$$

2 సార్లు y+10ని గుణించండి.

$$2y+20+2.5y=200$$

\frac{5y}{2}కు 2yని కూడండి.

$$4.5y+20=200$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4.5y=180$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 4.5తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=40$$

x=y+10లో yను 40 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=40+10$$

40కు 10ని కూడండి.

$$x=50$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=50,y=40$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\2&2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2.5}{2.5-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{2.5-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{2.5-\left(-2\right)}&\frac{1}{2.5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{4}{9}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\200\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\\-\frac{4}{9}\times 10+\frac{2}{9}\times 200\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}50\\40\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=50,y=40$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-y=10,2x+2.5y=200$$

x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$2x+2\left(-1\right)y=2\times 10,2x+2.5y=200$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$2x-2y=20,2x+2.5y=200$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+2.5y=200ని 2x-2y=20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-2x-2y-2.5y=20-200$$

-2xకు 2xని కూడండి. 2x మరియు -2x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-2y-2.5y=20-200$$

-\frac{5y}{2}కు -2yని కూడండి.

$$-4.5y=20-200$$

-200కు 20ని కూడండి.

$$-4.5y=-180$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -4.5తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=40$$

2x+2.5y=200లో yను 40 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+2.5\times 40=200$$

2.5 సార్లు 40ని గుణించండి.

$$2x+100=200$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 100ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=100$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=50$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=50,y=40$$