{l}{x-y+3/2=3x+y+1}{5x+y/2=2x-1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x - \frac { y + 3 } { 2 } = 3 x + y + 1 } \\ { \frac { 5 x + y } { 2 } = 2 x - 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4xని పొందడం కోసం 2x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$-4x-y-3=2y+2$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3yని పొందడం కోసం -y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$-4x-3y-3=2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$-4x-3y=2+3$$

5ని పొందడం కోసం 2 మరియు 3ని కూడండి.

$$-4x-3y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$5x+y=4x-2$$

రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+y-4x=-2$$

xని పొందడం కోసం 5x మరియు -4xని జత చేయండి.

$$x+y=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-4x-3y=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3yని కూడండి.

$$-4x=3y+5$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{4}\left(3y+5\right)$$

-\frac{1}{4} సార్లు 3y+5ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-3y-5}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=-2.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}+y=-2$$

yకు -\frac{3y}{4}ని కూడండి.

$$\frac{1}{4}y-\frac{5}{4}=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{4}ని కూడండి.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{3}{4}$$

రెండు వైపులా 4తో గుణించండి.

$$y=-3$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{5}{4}లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-3\right)-\frac{5}{4}$$

-\frac{3}{4} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{9-5}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{4}కు -\frac{5}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4xని పొందడం కోసం 2x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$-4x-y-3=2y+2$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3yని పొందడం కోసం -y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$-4x-3y-3=2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$-4x-3y=2+3$$

5ని పొందడం కోసం 2 మరియు 3ని కూడండి.

$$-4x-3y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$5x+y=4x-2$$

రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+y-4x=-2$$

xని పొందడం కోసం 5x మరియు -4xని జత చేయండి.

$$x+y=-2$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{-4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{-4-\left(-3\right)}&-\frac{4}{-4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-3\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5-3\left(-2\right)\\5+4\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x-\left(y+3\right)=6x+2y+2$$

y+3 యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$2x-y-3=6x+2y+2$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-y-3-6x=2y+2$$

-4xని పొందడం కోసం 2x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$-4x-y-3=2y+2$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x-y-3-2y=2$$

-3yని పొందడం కోసం -y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$-4x-3y-3=2$$

రెండు వైపులా 3ని జోడించండి.

$$-4x-3y=2+3$$

5ని పొందడం కోసం 2 మరియు 3ని కూడండి.

$$-4x-3y=5$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$5x+y=4x-2$$

రెండు భాగాల నుండి 4xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x+y-4x=-2$$

xని పొందడం కోసం 5x మరియు -4xని జత చేయండి.

$$x+y=-2$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-4x-3y=5,x+y=-2$$

-4x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -4తో గుణించండి.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=-4\left(-2\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-4x-3y=5,-4x-4y=8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -4x-4y=8ని -4x-3y=5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-4x+4x-3y+4y=5-8$$

4xకు -4xని కూడండి. -4x మరియు 4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-3y+4y=5-8$$

4yకు -3yని కూడండి.

$$y=5-8$$

-8కు 5ని కూడండి.

$$y=-3$$

x+y=-2లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x-3=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-3$$