{l}{x=3/4y}{y=8/9x-4} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x = \frac { 3 } { 4 } y } \\ { y = \frac { 8 } { 9 } x - 4 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-9$$

$$y=-12$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{4}yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{8}{9}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3y}{4}ని కూడండి.

$$x=\frac{3}{4}y$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{3y}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -\frac{8}{9}x+y=-4.

$$-\frac{8}{9}\times \frac{3}{4}y+y=-4$$

-\frac{8}{9} సార్లు \frac{3y}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{2}{3}y+y=-4$$

yకు -\frac{2y}{3}ని కూడండి.

$$\frac{1}{3}y=-4$$

రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$y=-12$$

x=\frac{3}{4}yలో yను -12 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{3}{4}\left(-12\right)$$

\frac{3}{4} సార్లు -12ని గుణించండి.

$$x=-9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-9,y=-12$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{4}yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{8}{9}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{3}{4}\\-\frac{8}{9}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&-\frac{-\frac{3}{4}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\\-\frac{-\frac{8}{9}}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\frac{3}{4}\left(-\frac{8}{9}\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&\frac{9}{4}\\\frac{8}{3}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{4}\left(-4\right)\\3\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-12\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-9,y=-12$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{4}yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-\frac{3}{4}y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి \frac{8}{9}xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y-\frac{8}{9}x=-4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x-\frac{3}{4}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

x మరియు -\frac{8x}{9}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -\frac{8}{9}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$-\frac{8}{9}x-\frac{8}{9}\left(-\frac{3}{4}\right)y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0,-\frac{8}{9}x+y=-4$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -\frac{8}{9}x+y=-4ని -\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{8}{9}x+\frac{8}{9}x+\frac{2}{3}y-y=4$$

\frac{8x}{9}కు -\frac{8x}{9}ని కూడండి. -\frac{8x}{9} మరియు \frac{8x}{9} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\frac{2}{3}y-y=4$$

-yకు \frac{2y}{3}ని కూడండి.

$$-\frac{1}{3}y=4$$

రెండు వైపులా -3తో గుణించండి.

$$y=-12$$

-\frac{8}{9}x+y=-4లో yను -12 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-\frac{8}{9}x-12=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$-\frac{8}{9}x=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{8}{9}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=-9$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-9,y=-12$$