{l}{x+y=360}{4(x+40)+2(1.5y-60)=1320} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + y = 360 } \\ { 4 ( x + 40 ) + 2 ( 1.5 y - 60 ) = 1320 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=200$$

$$y=160$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+y=360,4\left(x+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+y=360$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-y+360$$

మరొక సమీకరణములో xను -y+360 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4\left(x+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320.

$$4\left(-y+360+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

40కు 360ని కూడండి.

$$4\left(-y+400\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

4 సార్లు -y+400ని గుణించండి.

$$-4y+1600+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

2 సార్లు \frac{3y}{2}-60ని గుణించండి.

$$-4y+1600+3y-120=1320$$

3yకు -4yని కూడండి.

$$-y+1600-120=1320$$

-120కు 1600ని కూడండి.

$$-y+1480=1320$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1480ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y=-160$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=160$$

x=-y+360లో yను 160 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-160+360$$

-160కు 360ని కూడండి.

$$x=200$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=200,y=160$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+y=360,4\left(x+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచడం కోసం రెండవ సమీకరణమును సరళీకృతం చేయండి.

$$4\left(x+40\right)+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

4 సార్లు x+40ని గుణించండి.

$$4x+160+2\left(1.5y-60\right)=1320$$

2 సార్లు 1.5y-60ని గుణించండి.

$$4x+160+3y-120=1320$$

-120కు 160ని కూడండి.

$$4x+3y+40=1320$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 40ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+3y=1280$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-4}&-\frac{1}{3-4}\\-\frac{4}{3-4}&\frac{1}{3-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3&1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}360\\1280\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\times 360+1280\\4\times 360-1280\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}200\\160\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=200,y=160$$