{l}{x+my=a}{x-ny=b} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + m y = a } \\ { x - n y = b } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$\left\{\begin{matrix}x=\frac{bm+an}{m+n}\text{, }y=-\frac{b-a}{m+n}\text{, }&m\neq -n\\x=ny+b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=b\text{ and }m=-n\\x=b\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=0\text{ and }n=0\text{ and }a=b\end{matrix}\right.$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+my=a$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి myని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\left(-m\right)y+a$$

మరొక సమీకరణములో xను a-my స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+\left(-n\right)y=b.

$$\left(-m\right)y+a+\left(-n\right)y=b$$

-nyకు -myని కూడండి.

$$\left(-m-n\right)y+a=b$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(-m-n\right)y=b-a$$

రెండు వైపులా -m-nతో భాగించండి.

$$y=-\frac{b-a}{m+n}$$

x=\left(-m\right)y+aలో yను -\frac{b-a}{m+n} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\left(-m\right)\left(-\frac{b-a}{m+n}\right)+a$$

-m సార్లు -\frac{b-a}{m+n}ని గుణించండి.

$$x=\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}+a$$

\frac{m\left(b-a\right)}{m+n}కు aని కూడండి.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=-\frac{b-a}{m+n}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&m\\1&-n\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{n}{-n-m}&-\frac{m}{-n-m}\\-\frac{1}{-n-m}&\frac{1}{-n-m}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}&\frac{m}{m+n}\\\frac{1}{m+n}&\frac{1}{-m-n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{n}{m+n}a+\frac{m}{m+n}b\\\frac{1}{m+n}a+\frac{1}{-m-n}b\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{bm+an}{m+n}\\\frac{a-b}{m+n}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+my=a,x+\left(-n\right)y=b$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా x+\left(-n\right)y=bని x+my=a నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x-x+my+ny=a-b$$

-xకు xని కూడండి. x మరియు -x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$my+ny=a-b$$

nyకు myని కూడండి.

$$\left(m+n\right)y=a-b$$

రెండు వైపులా m+nతో భాగించండి.

$$y=\frac{a-b}{m+n}$$

x+\left(-n\right)y=bలో yను \frac{a-b}{m+n} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\left(-n\right)\times \frac{a-b}{m+n}=b$$

-n సార్లు \frac{a-b}{m+n}ని గుణించండి.

$$x-\frac{n\left(a-b\right)}{m+n}=b$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{n\left(a-b\right)}{m+n}ని కూడండి.

$$x=\frac{bm+an}{m+n}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{bm+an}{m+n},y=\frac{a-b}{m+n}$$