{l}{x+2y=2m}{3x+5y=m-1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { x + 2 y = 2 m } \\ { 3 x + 5 y = m - 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-8m-2$$

$$y=5m+1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$x+2y=2m$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-2y+2m$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+2m స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+5y=m-1.

$$3\left(-2y+2m\right)+5y=m-1$$

3 సార్లు -2y+2mని గుణించండి.

$$-6y+6m+5y=m-1$$

5yకు -6yని కూడండి.

$$-y+6m=m-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 6mని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-y=-5m-1$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$y=5m+1$$

x=-2y+2mలో yను 5m+1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\left(5m+1\right)+2m$$

-2 సార్లు 5m+1ని గుణించండి.

$$x=-10m-2+2m$$

-10m-2కు 2mని కూడండి.

$$x=-8m-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-2\times 3}&-\frac{2}{5-2\times 3}\\-\frac{3}{5-2\times 3}&\frac{1}{5-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5&2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2m\\m-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\times 2m+2\left(m-1\right)\\3\times 2m-\left(m-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8m-2\\5m+1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$x+2y=2m,3x+5y=m-1$$

x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి.

$$3x+3\times 2y=3\times 2m,3x+5y=m-1$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3x+6y=6m,3x+5y=m-1$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3x+5y=m-1ని 3x+6y=6m నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x-3x+6y-5y=6m+1-m$$

-3xకు 3xని కూడండి. 3x మరియు -3x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y-5y=6m+1-m$$

-5yకు 6yని కూడండి.

$$y=6m+1-m$$

-m+1కు 6mని కూడండి.

$$y=5m+1$$

3x+5y=m-1లో yను 1+5m స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+5\left(5m+1\right)=m-1$$

5 సార్లు 1+5mని గుణించండి.

$$3x+25m+5=m-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5+25mని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=-24m-6$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=-8m-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-8m-2,y=5m+1$$