{l}{ty+2=x}{x^2+4y^2=4} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { t y + 2 = x } \\ { x ^ { 2 } + 4 y ^ { 2 } = 4 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=2\text{, }y=0$$

$$x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}$$

ప్రతిక్షేపణను మరియు చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$ty+2-x=0$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$ty-x=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$ty-x=-2,x^{2}+4y^{2}=4$$

సమాన గుర్తు ఎడమ వైపున yని వేరు చేయడం ద్వారా y కోసం ty-x=-2ని పరిష్కరించండి.

$$ty-x=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి -xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$ty=x-2$$

రెండు వైపులా tతో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}$$

మరొక సమీకరణములో yను \frac{1}{t}x-\frac{2}{t} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x^{2}+4y^{2}=4.

$$x^{2}+4\left(\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

\frac{1}{t}x-\frac{2}{t} వర్గము.

$$x^{2}+4\left(\left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}\right)=4$$

4 సార్లు \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+2\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}ని గుణించండి.

$$x^{2}+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}x^{2}కు x^{2}ని కూడండి.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)x^{2}+8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}x+4\left(-\frac{2}{t}\right)^{2}-4=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}, b స్థానంలో 4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) మరియు c స్థానంలో \frac{16}{t^{2}}-4 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\left(8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}\right)^{2}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

4\times 2\times \frac{1}{t}\left(-\frac{2}{t}\right) వర్గము.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}-4\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4 సార్లు 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+\left(-4-\frac{16}{t^{2}}\right)\left(-4+\frac{16}{t^{2}}\right)}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-4-\frac{16}{t^{2}} సార్లు \frac{16}{t^{2}}-4ని గుణించండి.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{\frac{256}{t^{4}}+16-\frac{256}{t^{4}}}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

-\frac{256}{t^{4}}+16కు \frac{256}{t^{4}}ని కూడండి.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±\sqrt{16}}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

16 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-8\left(-\frac{2}{t}\right)\times \frac{1}{t}±4}{2\left(1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}\right)}$$

2 సార్లు 1+4\times \left(\frac{1}{t}\right)^{2}ని గుణించండి.

$$x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4కు \frac{16}{t^{2}}ని కూడండి.

$$x=\frac{4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

2+\frac{8}{t^{2}}తో 4+\frac{16}{t^{2}}ని భాగించండి.

$$x=2$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{\frac{16}{t^{2}}±4}{2+\frac{8}{t^{2}}} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 4ని \frac{16}{t^{2}} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-4+\frac{16}{t^{2}}}{2+\frac{8}{t^{2}}}$$

2+\frac{8}{t^{2}}తో \frac{16}{t^{2}}-4ని భాగించండి.

$$x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x కోసం రెండు పరిష్కారాలు ఉన్నాయి: 2 మరియు -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}. సమీకరణం y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}లో 2 బదులుగా xతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణాలకు సరిపోయే విధంగా yకు సంబంధితంగా ఉండే విలువను కనుగొనండి.

$$y=\frac{1}{t}\times 2-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

ఇప్పుడు సమీకరణము y=\frac{1}{t}x-\frac{2}{t}లో -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}} బదులుగా xతో ప్రతిక్షేపించండి మరియు రెండు సమీకరణములకు సరిపోయే విధంగా yకు సంబంధితంగా ఒక పరిష్కారాన్ని కనుగొనండి.

$$y=\frac{1}{t}\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)-\frac{2}{t}$$

\frac{1}{t} సార్లు -\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{4+t^{2}}ని గుణించండి.

$$y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=2\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=2\text{ or }y=\left(-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}\right)\times \frac{1}{t}-\frac{2}{t},x=-\frac{2\left(t^{2}-4\right)}{t^{2}+4}$$

x, yని పరిష్కరించండి (సంకీర్ణ పరిష్కారం)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=2\text{, }y=0\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{2\left(4-t^{2}\right)}{t^{2}+4}\text{, }y=-\frac{4t}{t^{2}+4}\text{, }&t\neq -2i\text{ and }t\neq 2i\end{matrix}\right.$$