{l}{9m-13n=22}{2m+3n=-1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 9 m - 13 n = 22 } \\ { 2 m + 3 n = - 1 } \end{array} \right.$$

m, nని పరిష్కరించండి

$$m=1$$

$$n=-1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న mని వేరు చేయడం ద్వారా mని పరిష్కరించండి.

$$9m-13n=22$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 13nని కూడండి.

$$9m=13n+22$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$m=\frac{1}{9}\left(13n+22\right)$$

\frac{1}{9} సార్లు 13n+22ని గుణించండి.

$$m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}$$

మరొక సమీకరణములో mను \frac{13n+22}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2m+3n=-1.

$$2\left(\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}\right)+3n=-1$$

2 సార్లు \frac{13n+22}{9}ని గుణించండి.

$$\frac{26}{9}n+\frac{44}{9}+3n=-1$$

3nకు \frac{26n}{9}ని కూడండి.

$$\frac{53}{9}n+\frac{44}{9}=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{44}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{53}{9}n=-\frac{53}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{53}{9}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$n=-1$$

m=\frac{13}{9}n+\frac{22}{9}లో nను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$m=\frac{13}{9}\left(-1\right)+\frac{22}{9}$$

\frac{13}{9} సార్లు -1ని గుణించండి.

$$m=\frac{-13+22}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{13}{9}కు \frac{22}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$m=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=1,n=-1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-13\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&-\frac{-13}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 3-\left(-13\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}&\frac{13}{53}\\-\frac{2}{53}&\frac{9}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{53}\times 22+\frac{13}{53}\left(-1\right)\\-\frac{2}{53}\times 22+\frac{9}{53}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-1\end{matrix}\right)$$

m మరియు n మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$m=1,n=-1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$9m-13n=22,2m+3n=-1$$

9m మరియు 2mని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 9తో గుణించండి.

$$2\times 9m+2\left(-13\right)n=2\times 22,9\times 2m+9\times 3n=9\left(-1\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$18m-26n=44,18m+27n=-9$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 18m+27n=-9ని 18m-26n=44 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$18m-18m-26n-27n=44+9$$

-18mకు 18mని కూడండి. 18m మరియు -18m విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-26n-27n=44+9$$

-27nకు -26nని కూడండి.

$$-53n=44+9$$

9కు 44ని కూడండి.

$$-53n=53$$

రెండు వైపులా -53తో భాగించండి.

$$n=-1$$

2m+3n=-1లో nను -1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2m+3\left(-1\right)=-1$$

3 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$2m-3=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$2m=2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$m=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=1,n=-1$$