{l}{8x-5=7y-9}{6x=3y+6} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 5 = 7 y - 9 } \\ { 6 x = 3 y + 6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=3$$

$$y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-5-7y=-9$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$8x-7y=-9+5$$

-4ని పొందడం కోసం -9 మరియు 5ని కూడండి.

$$8x-7y=-4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=6$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$8x-7y=-4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7yని కూడండి.

$$8x=7y-4$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}\left(7y-4\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు 7y-4ని గుణించండి.

$$x=\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{7y}{8}-\frac{1}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x-3y=6.

$$6\left(\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}\right)-3y=6$$

6 సార్లు \frac{7y}{8}-\frac{1}{2}ని గుణించండి.

$$\frac{21}{4}y-3-3y=6$$

-3yకు \frac{21y}{4}ని కూడండి.

$$\frac{9}{4}y-3=6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$\frac{9}{4}y=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=4$$

x=\frac{7}{8}y-\frac{1}{2}లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{7}{8}\times 4-\frac{1}{2}$$

\frac{7}{8} సార్లు 4ని గుణించండి.

$$x=\frac{7-1}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{7}{2}కు -\frac{1}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=4$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-5-7y=-9$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$8x-7y=-9+5$$

-4ని పొందడం కోసం -9 మరియు 5ని కూడండి.

$$8x-7y=-4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=6$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-7\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-3\right)-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{7}{18}\\-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}\left(-4\right)+\frac{7}{18}\times 6\\-\frac{1}{3}\left(-4\right)+\frac{4}{9}\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=3,y=4$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 7yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-5-7y=-9$$

రెండు వైపులా 5ని జోడించండి.

$$8x-7y=-9+5$$

-4ని పొందడం కోసం -9 మరియు 5ని కూడండి.

$$8x-7y=-4$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-3y=6$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8x-7y=-4,6x-3y=6$$

8x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి.

$$6\times 8x+6\left(-7\right)y=6\left(-4\right),8\times 6x+8\left(-3\right)y=8\times 6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$48x-42y=-24,48x-24y=48$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 48x-24y=48ని 48x-42y=-24 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$48x-48x-42y+24y=-24-48$$

-48xకు 48xని కూడండి. 48x మరియు -48x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-42y+24y=-24-48$$

24yకు -42yని కూడండి.

$$-18y=-24-48$$

-48కు -24ని కూడండి.

$$-18y=-72$$

రెండు వైపులా -18తో భాగించండి.

$$y=4$$

6x-3y=6లో yను 4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x-3\times 4=6$$

-3 సార్లు 4ని గుణించండి.

$$6x-12=6$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 12ని కూడండి.

$$6x=18$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=3$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=3,y=4$$