{l}{8x-4y=2}{2x+3y=6} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x - 4 y = 2 } \\ { 2 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{15}{16}=0.9375$$

$$y = \frac{11}{8} = 1\frac{3}{8} = 1.375$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$8x-4y=2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 4yని కూడండి.

$$8x=4y+2$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}\left(4y+2\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు 4y+2ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{2}+\frac{1}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+3y=6.

$$2\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=6$$

2 సార్లు \frac{y}{2}+\frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$y+\frac{1}{2}+3y=6$$

3yకు yని కూడండి.

$$4y+\frac{1}{2}=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y=\frac{11}{2}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$y=\frac{11}{8}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}లో yను \frac{11}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{11}{8}+\frac{1}{4}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{2} సార్లు \frac{11}{8}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{11}{16}+\frac{1}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{11}{16}కు \frac{1}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{15}{16}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-4\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&-\frac{-4}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\\-\frac{2}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-4\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{16}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\6\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{32}\times 2+\frac{1}{8}\times 6\\-\frac{1}{16}\times 2+\frac{1}{4}\times 6\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{16}\\\frac{11}{8}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8x-4y=2,2x+3y=6$$

8x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి.

$$2\times 8x+2\left(-4\right)y=2\times 2,8\times 2x+8\times 3y=8\times 6$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$16x-8y=4,16x+24y=48$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 16x+24y=48ని 16x-8y=4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$16x-16x-8y-24y=4-48$$

-16xకు 16xని కూడండి. 16x మరియు -16x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-8y-24y=4-48$$

-24yకు -8yని కూడండి.

$$-32y=4-48$$

-48కు 4ని కూడండి.

$$-32y=-44$$

రెండు వైపులా -32తో భాగించండి.

$$y=\frac{11}{8}$$

2x+3y=6లో yను \frac{11}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+3\times \frac{11}{8}=6$$

3 సార్లు \frac{11}{8}ని గుణించండి.

$$2x+\frac{33}{8}=6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{33}{8}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=\frac{15}{8}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{15}{16}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{15}{16},y=\frac{11}{8}$$