{l}{8x+2y=-1}{3x+4y=-1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 8 x + 2 y = - 1 } \\ { 3 x + 4 y = - 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-\frac{1}{13}\approx -0.076923077$$

$$y=-\frac{5}{26}\approx -0.192307692$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$8x+2y=-1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x=-2y-1$$

రెండు వైపులా 8తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{8}\left(-2y-1\right)$$

\frac{1}{8} సార్లు -2y-1ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{4}-\frac{1}{8} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+4y=-1.

$$3\left(-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}\right)+4y=-1$$

3 సార్లు -\frac{y}{4}-\frac{1}{8}ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{4}y-\frac{3}{8}+4y=-1$$

4yకు -\frac{3y}{4}ని కూడండి.

$$\frac{13}{4}y-\frac{3}{8}=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{8}ని కూడండి.

$$\frac{13}{4}y=-\frac{5}{8}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{13}{4}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{5}{26}$$

x=-\frac{1}{4}y-\frac{1}{8}లో yను -\frac{5}{26} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-\frac{5}{26}\right)-\frac{1}{8}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{4} సార్లు -\frac{5}{26}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{5}{104}-\frac{1}{8}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{5}{104}కు -\frac{1}{8}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{1}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&2\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{8\times 4-2\times 3}&-\frac{2}{8\times 4-2\times 3}\\-\frac{3}{8\times 4-2\times 3}&\frac{8}{8\times 4-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{1}{13}\\-\frac{3}{26}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\-1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-1\right)-\frac{1}{13}\left(-1\right)\\-\frac{3}{26}\left(-1\right)+\frac{4}{13}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\\-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$8x+2y=-1,3x+4y=-1$$

8x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 8తో గుణించండి.

$$3\times 8x+3\times 2y=3\left(-1\right),8\times 3x+8\times 4y=8\left(-1\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$24x+6y=-3,24x+32y=-8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 24x+32y=-8ని 24x+6y=-3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$24x-24x+6y-32y=-3+8$$

-24xకు 24xని కూడండి. 24x మరియు -24x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y-32y=-3+8$$

-32yకు 6yని కూడండి.

$$-26y=-3+8$$

8కు -3ని కూడండి.

$$-26y=5$$

రెండు వైపులా -26తో భాగించండి.

$$y=-\frac{5}{26}$$

3x+4y=-1లో yను -\frac{5}{26} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+4\left(-\frac{5}{26}\right)=-1$$

4 సార్లు -\frac{5}{26}ని గుణించండి.

$$3x-\frac{10}{13}=-1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{10}{13}ని కూడండి.

$$3x=-\frac{3}{13}$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{1}{13},y=-\frac{5}{26}$$