{l}{7x+63y=97}{63x+17y=143} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 63 y = 97 } \\ { 63 x + 17 y = 143 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{736}{385} = 1\frac{351}{385} \approx 1.911688312$$

$$y = \frac{73}{55} = 1\frac{18}{55} \approx 1.327272727$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7x+63y=97,63x+17y=143$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$7x+63y=97$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 63yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x=-63y+97$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{7}\left(-63y+97\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు -63y+97ని గుణించండి.

$$x=-9y+\frac{97}{7}$$

మరొక సమీకరణములో xను -9y+\frac{97}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 63x+17y=143.

$$63\left(-9y+\frac{97}{7}\right)+17y=143$$

63 సార్లు -9y+\frac{97}{7}ని గుణించండి.

$$-567y+873+17y=143$$

17yకు -567yని కూడండి.

$$-550y+873=143$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 873ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-550y=-730$$

రెండు వైపులా -550తో భాగించండి.

$$y=\frac{73}{55}$$

x=-9y+\frac{97}{7}లో yను \frac{73}{55} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-9\times \frac{73}{55}+\frac{97}{7}$$

-9 సార్లు \frac{73}{55}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{657}{55}+\frac{97}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{657}{55}కు \frac{97}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{736}{385}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{736}{385},y=\frac{73}{55}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7x+63y=97,63x+17y=143$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&63\\63&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\143\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&63\\63&17\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&63\\63&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&63\\63&17\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&63\\63&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\143\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&63\\63&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\143\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&63\\63&17\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\143\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{7\times 17-63\times 63}&-\frac{63}{7\times 17-63\times 63}\\-\frac{63}{7\times 17-63\times 63}&\frac{7}{7\times 17-63\times 63}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\143\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{17}{3850}&\frac{9}{550}\\\frac{9}{550}&-\frac{1}{550}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\143\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{17}{3850}\times 97+\frac{9}{550}\times 143\\\frac{9}{550}\times 97-\frac{1}{550}\times 143\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{736}{385}\\\frac{73}{55}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{736}{385},y=\frac{73}{55}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7x+63y=97,63x+17y=143$$

7x మరియు 63xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 63తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి.

$$63\times 7x+63\times 63y=63\times 97,7\times 63x+7\times 17y=7\times 143$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$441x+3969y=6111,441x+119y=1001$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 441x+119y=1001ని 441x+3969y=6111 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$441x-441x+3969y-119y=6111-1001$$

-441xకు 441xని కూడండి. 441x మరియు -441x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3969y-119y=6111-1001$$

-119yకు 3969yని కూడండి.

$$3850y=6111-1001$$

-1001కు 6111ని కూడండి.

$$3850y=5110$$

రెండు వైపులా 3850తో భాగించండి.

$$y=\frac{73}{55}$$

63x+17y=143లో yను \frac{73}{55} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$63x+17\times \frac{73}{55}=143$$

17 సార్లు \frac{73}{55}ని గుణించండి.

$$63x+\frac{1241}{55}=143$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{1241}{55}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$63x=\frac{6624}{55}$$

రెండు వైపులా 63తో భాగించండి.

$$x=\frac{736}{385}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{736}{385},y=\frac{73}{55}$$