{l}{7x+18y=43}{2(x-3)+5=y-1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 x + 18 y = 43 } \\ { 2 ( x - 3 ) + 5 = y - 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6+5=y-1$$

-1ని పొందడం కోసం -6 మరియు 5ని కూడండి.

$$2x-1=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-1-y=-1$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$2x-y=-1+1$$

0ని పొందడం కోసం -1 మరియు 1ని కూడండి.

$$2x-y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$7x+18y=43$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 18yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7x=-18y+43$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{7}\left(-18y+43\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు -18y+43ని గుణించండి.

$$x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-18y+43}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x-y=0.

$$2\left(-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}\right)-y=0$$

2 సార్లు \frac{-18y+43}{7}ని గుణించండి.

$$-\frac{36}{7}y+\frac{86}{7}-y=0$$

-yకు -\frac{36y}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{43}{7}y+\frac{86}{7}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{86}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{43}{7}y=-\frac{86}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{43}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=2$$

x=-\frac{18}{7}y+\frac{43}{7}లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{18}{7}\times 2+\frac{43}{7}$$

-\frac{18}{7} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-36+43}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{36}{7}కు \frac{43}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6+5=y-1$$

-1ని పొందడం కోసం -6 మరియు 5ని కూడండి.

$$2x-1=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-1-y=-1$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$2x-y=-1+1$$

0ని పొందడం కోసం -1 మరియు 1ని కూడండి.

$$2x-y=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&18\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాత్రికకు సంబంధించి \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), విలోమ మాత్రిక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) అయితే, మాత్రిక సమీకరణాన్ని మాత్రిక గుణాకార సమస్య వలె తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-18\times 2}&-\frac{18}{7\left(-1\right)-18\times 2}\\-\frac{2}{7\left(-1\right)-18\times 2}&\frac{7}{7\left(-1\right)-18\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}&\frac{18}{43}\\\frac{2}{43}&-\frac{7}{43}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}43\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{43}\times 43\\\frac{2}{43}\times 43\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x-3తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$2x-6+5=y-1$$

-1ని పొందడం కోసం -6 మరియు 5ని కూడండి.

$$2x-1=y-1$$

రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x-1-y=-1$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$2x-y=-1+1$$

0ని పొందడం కోసం -1 మరియు 1ని కూడండి.

$$2x-y=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7x+18y=43,2x-y=0$$

7x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 7తో గుణించండి.

$$2\times 7x+2\times 18y=2\times 43,7\times 2x+7\left(-1\right)y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$14x+36y=86,14x-7y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 14x-7y=0ని 14x+36y=86 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$14x-14x+36y+7y=86$$

-14xకు 14xని కూడండి. 14x మరియు -14x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$36y+7y=86$$

7yకు 36yని కూడండి.

$$43y=86$$

రెండు వైపులా 43తో భాగించండి.

$$y=2$$

2x-y=0లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x-2=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$2x=2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=2$$