{l}{7n+46=a}{11n+2=a} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 7 n + 46 = a } \\ { 11 n + 2 = a } \end{array} \right.$$

n, aని పరిష్కరించండి

$$n=11$$

$$a=123$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7n+46-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 46ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$7n-a=-46$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11n+2-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$11n-a=-2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న nని వేరు చేయడం ద్వారా nని పరిష్కరించండి.

$$7n-a=-46$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా aని కూడండి.

$$7n=a-46$$

రెండు వైపులా 7తో భాగించండి.

$$n=\frac{1}{7}\left(a-46\right)$$

\frac{1}{7} సార్లు a-46ని గుణించండి.

$$n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}$$

మరొక సమీకరణములో nను \frac{-46+a}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 11n-a=-2.

$$11\left(\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}\right)-a=-2$$

11 సార్లు \frac{-46+a}{7}ని గుణించండి.

$$\frac{11}{7}a-\frac{506}{7}-a=-2$$

-aకు \frac{11a}{7}ని కూడండి.

$$\frac{4}{7}a-\frac{506}{7}=-2$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{506}{7}ని కూడండి.

$$\frac{4}{7}a=\frac{492}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{4}{7}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$a=123$$

n=\frac{1}{7}a-\frac{46}{7}లో aను 123 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు nని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$n=\frac{1}{7}\times 123-\frac{46}{7}$$

\frac{1}{7} సార్లు 123ని గుణించండి.

$$n=\frac{123-46}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{123}{7}కు -\frac{46}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$n=11$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$n=11,a=123$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7n+46-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 46ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$7n-a=-46$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11n+2-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$11n-a=-2$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\11&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&-\frac{-1}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\\-\frac{11}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}&\frac{7}{7\left(-1\right)-\left(-11\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{11}{4}&\frac{7}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-46\\-2\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-46\right)+\frac{1}{4}\left(-2\right)\\-\frac{11}{4}\left(-46\right)+\frac{7}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}n\\a\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\123\end{matrix}\right)$$

n మరియు a మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$n=11,a=123$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$7n+46-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 46ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$7n-a=-46$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు భాగాల నుండి aని వ్యవకలనం చేయండి.

$$11n+2-a=0$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$11n-a=-2$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$7n-a=-46,11n-a=-2$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 11n-a=-2ని 7n-a=-46 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$7n-11n-a+a=-46+2$$

aకు -aని కూడండి. -a మరియు a విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$7n-11n=-46+2$$

-11nకు 7nని కూడండి.

$$-4n=-46+2$$

2కు -46ని కూడండి.

$$-4n=-44$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$n=11$$

11n-a=-2లో nను 11 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు aని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$11\times 11-a=-2$$

11 సార్లు 11ని గుణించండి.

$$121-a=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 121ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-a=-123$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$a=123$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$n=11,a=123$$