{l}{6x+3y=60}{2x+5y=800} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 60 } \\ { 2 x + 5 y = 800 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{175}{2} = -87\frac{1}{2} = -87.5$$

$$y=195$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$6x+3y=60$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=-3y+60$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+60\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు -3y+60ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+10$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{2}+10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+5y=800.

$$2\left(-\frac{1}{2}y+10\right)+5y=800$$

2 సార్లు -\frac{y}{2}+10ని గుణించండి.

$$-y+20+5y=800$$

5yకు -yని కూడండి.

$$4y+20=800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 20ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4y=780$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$y=195$$

x=-\frac{1}{2}y+10లో yను 195 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\times 195+10$$

-\frac{1}{2} సార్లు 195ని గుణించండి.

$$x=-\frac{195}{2}+10$$

-\frac{195}{2}కు 10ని కూడండి.

$$x=-\frac{175}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{6\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{6\times 5-3\times 2}&\frac{6}{6\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}&-\frac{1}{8}\\-\frac{1}{12}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}60\\800\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{24}\times 60-\frac{1}{8}\times 800\\-\frac{1}{12}\times 60+\frac{1}{4}\times 800\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{175}{2}\\195\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6x+3y=60,2x+5y=800$$

6x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$2\times 6x+2\times 3y=2\times 60,6\times 2x+6\times 5y=6\times 800$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12x+6y=120,12x+30y=4800$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12x+30y=4800ని 12x+6y=120 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x-12x+6y-30y=120-4800$$

-12xకు 12xని కూడండి. 12x మరియు -12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y-30y=120-4800$$

-30yకు 6yని కూడండి.

$$-24y=120-4800$$

-4800కు 120ని కూడండి.

$$-24y=-4680$$

రెండు వైపులా -24తో భాగించండి.

$$y=195$$

2x+5y=800లో yను 195 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+5\times 195=800$$

5 సార్లు 195ని గుణించండి.

$$2x+975=800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 975ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-175$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{175}{2}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{175}{2},y=195$$