{l}{6u+4v=5}{9u-8v=4} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 6 u + 4 v = 5 } \\ { 9 u - 8 v = 4 } \end{array} \right.$$

u, vని పరిష్కరించండి

$$u=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$v=\frac{1}{4}=0.25$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న uని వేరు చేయడం ద్వారా uని పరిష్కరించండి.

$$6u+4v=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 4vని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6u=-4v+5$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$u=\frac{1}{6}\left(-4v+5\right)$$

\frac{1}{6} సార్లు -4v+5ని గుణించండి.

$$u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}$$

మరొక సమీకరణములో uను -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 9u-8v=4.

$$9\left(-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}\right)-8v=4$$

9 సార్లు -\frac{2v}{3}+\frac{5}{6}ని గుణించండి.

$$-6v+\frac{15}{2}-8v=4$$

-8vకు -6vని కూడండి.

$$-14v+\frac{15}{2}=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{15}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-14v=-\frac{7}{2}$$

రెండు వైపులా -14తో భాగించండి.

$$v=\frac{1}{4}$$

u=-\frac{2}{3}v+\frac{5}{6}లో vను \frac{1}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$u=-\frac{2}{3}\times \frac{1}{4}+\frac{5}{6}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{2}{3} సార్లు \frac{1}{4}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$u=\frac{-1+5}{6}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{1}{6}కు \frac{5}{6}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$u=\frac{2}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\9&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{6\left(-8\right)-4\times 9}&-\frac{4}{6\left(-8\right)-4\times 9}\\-\frac{9}{6\left(-8\right)-4\times 9}&\frac{6}{6\left(-8\right)-4\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}&\frac{1}{21}\\\frac{3}{28}&-\frac{1}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{21}\times 5+\frac{1}{21}\times 4\\\frac{3}{28}\times 5-\frac{1}{14}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}u\\v\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

u మరియు v మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$6u+4v=5,9u-8v=4$$

6u మరియు 9uని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 9తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి.

$$9\times 6u+9\times 4v=9\times 5,6\times 9u+6\left(-8\right)v=6\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$54u+36v=45,54u-48v=24$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 54u-48v=24ని 54u+36v=45 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$54u-54u+36v+48v=45-24$$

-54uకు 54uని కూడండి. 54u మరియు -54u విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$36v+48v=45-24$$

48vకు 36vని కూడండి.

$$84v=45-24$$

-24కు 45ని కూడండి.

$$84v=21$$

రెండు వైపులా 84తో భాగించండి.

$$v=\frac{1}{4}$$

9u-8v=4లో vను \frac{1}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు uని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$9u-8\times \frac{1}{4}=4$$

-8 సార్లు \frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$9u-2=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$9u=6$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$u=\frac{2}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$u=\frac{2}{3},v=\frac{1}{4}$$