{l}{5x-6y=-3}{5x-3y=3} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = - 3 } \\ { 5 x - 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=2$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x-6y=-3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6yని కూడండి.

$$5x=6y-3$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y-3\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు 6y-3ని గుణించండి.

$$x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{6y-3}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 5x-3y=3.

$$5\left(\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}\right)-3y=3$$

5 సార్లు \frac{6y-3}{5}ని గుణించండి.

$$6y-3-3y=3$$

-3yకు 6yని కూడండి.

$$3y-3=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 3ని కూడండి.

$$3y=6$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$y=2$$

x=\frac{6}{5}y-\frac{3}{5}లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{6}{5}\times 2-\frac{3}{5}$$

\frac{6}{5} సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{12-3}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{12}{5}కు -\frac{3}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{9}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\5&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&-\frac{-6}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\\-\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}&\frac{5}{5\left(-3\right)-\left(-6\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{2}{5}\times 3\\-\frac{1}{3}\left(-3\right)+\frac{1}{3}\times 3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\2\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x-6y=-3,5x-3y=3$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5x-3y=3ని 5x-6y=-3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-5x-6y+3y=-3-3$$

-5xకు 5xని కూడండి. 5x మరియు -5x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-6y+3y=-3-3$$

3yకు -6yని కూడండి.

$$-3y=-3-3$$

-3కు -3ని కూడండి.

$$-3y=-6$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$y=2$$

5x-3y=3లో yను 2 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$5x-3\times 2=3$$

-3 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$5x-6=3$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 6ని కూడండి.

$$5x=9$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{9}{5}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{9}{5},y=2$$