{l}{5x-2y=1.5(x+1)}{3x-2.5y=-5} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 1.5 ( x + 1 ) } \\ { 3 x - 2.5 y = - 5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=5$$

$$y=8$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1తో 1.5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

రెండు భాగాల నుండి 1.5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

3.5xని పొందడం కోసం 5x మరియు -1.5xని జత చేయండి.

$$3.5x-2y=1.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$3.5x-2y=1.5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$3.5x=2y+1.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3.5తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{2}{7}\left(2y+1.5\right)$$

\frac{2}{7} సార్లు 2y+1.5ని గుణించండి.

$$x=\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{4y+3}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x-2.5y=-5.

$$3\left(\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}\right)-2.5y=-5$$

3 సార్లు \frac{4y+3}{7}ని గుణించండి.

$$\frac{12}{7}y+\frac{9}{7}-2.5y=-5$$

-\frac{5y}{2}కు \frac{12y}{7}ని కూడండి.

$$-\frac{11}{14}y+\frac{9}{7}=-5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{9}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{11}{14}y=-\frac{44}{7}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{11}{14}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=8$$

x=\frac{4}{7}y+\frac{3}{7}లో yను 8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{4}{7}\times 8+\frac{3}{7}$$

\frac{4}{7} సార్లు 8ని గుణించండి.

$$x=\frac{32+3}{7}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{32}{7}కు \frac{3}{7}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=5,y=8$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1తో 1.5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

రెండు భాగాల నుండి 1.5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

3.5xని పొందడం కోసం 5x మరియు -1.5xని జత చేయండి.

$$3.5x-2y=1.5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3.5&-2\\3&-2.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2.5}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}&\frac{3.5}{3.5\left(-2.5\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}&-\frac{8}{11}\\\frac{12}{11}&-\frac{14}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1.5\\-5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{11}\times 1.5-\frac{8}{11}\left(-5\right)\\\frac{12}{11}\times 1.5-\frac{14}{11}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\8\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=5,y=8$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. x+1తో 1.5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$5x-2y=1.5x+1.5$$

రెండు భాగాల నుండి 1.5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x-2y-1.5x=1.5$$

3.5xని పొందడం కోసం 5x మరియు -1.5xని జత చేయండి.

$$3.5x-2y=1.5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3.5x-2y=1.5,3x-2.5y=-5$$

\frac{7x}{2} మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3.5తో గుణించండి.

$$3\times 3.5x+3\left(-2\right)y=3\times 1.5,3.5\times 3x+3.5\left(-2.5\right)y=3.5\left(-5\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10.5x-6y=4.5,10.5x-8.75y=-17.5$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10.5x-8.75y=-17.5ని 10.5x-6y=4.5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10.5x-10.5x-6y+8.75y=\frac{9+35}{2}$$

-\frac{21x}{2}కు \frac{21x}{2}ని కూడండి. \frac{21x}{2} మరియు -\frac{21x}{2} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-6y+8.75y=\frac{9+35}{2}$$

\frac{35y}{4}కు -6yని కూడండి.

$$2.75y=\frac{9+35}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా 17.5కు 4.5ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$2.75y=22$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2.75తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=8$$

3x-2.5y=-5లో yను 8 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-2.5\times 8=-5$$

-2.5 సార్లు 8ని గుణించండి.

$$3x-20=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 20ని కూడండి.

$$3x=15$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=5,y=8$$