{l}{5x+y=39}{3x+4y=54} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + y = 39 } \\ { 3 x + 4 y = 54 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=6$$

$$y=9$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+y=39$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-y+39$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+39\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -y+39ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+39}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x+4y=54.

$$3\left(-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}\right)+4y=54$$

3 సార్లు \frac{-y+39}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{5}y+\frac{117}{5}+4y=54$$

4yకు -\frac{3y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{17}{5}y+\frac{117}{5}=54$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{117}{5}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{17}{5}y=\frac{153}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{17}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=9$$

x=-\frac{1}{5}y+\frac{39}{5}లో yను 9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{5}\times 9+\frac{39}{5}$$

-\frac{1}{5} సార్లు 9ని గుణించండి.

$$x=\frac{-9+39}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{9}{5}కు \frac{39}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=9$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-3}&-\frac{1}{5\times 4-3}\\-\frac{3}{5\times 4-3}&\frac{5}{5\times 4-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}&-\frac{1}{17}\\-\frac{3}{17}&\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}39\\54\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\times 39-\frac{1}{17}\times 54\\-\frac{3}{17}\times 39+\frac{5}{17}\times 54\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=6,y=9$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+y=39,3x+4y=54$$

5x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$3\times 5x+3y=3\times 39,5\times 3x+5\times 4y=5\times 54$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x+3y=117,15x+20y=270$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x+20y=270ని 15x+3y=117 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x+3y-20y=117-270$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$3y-20y=117-270$$

-20yకు 3yని కూడండి.

$$-17y=117-270$$

-270కు 117ని కూడండి.

$$-17y=-153$$

రెండు వైపులా -17తో భాగించండి.

$$y=9$$

3x+4y=54లో yను 9 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x+4\times 9=54$$

4 సార్లు 9ని గుణించండి.

$$3x+36=54$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 36ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x=18$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=6,y=9$$