{l}{5x+2y=-9}{3x-4y=-8} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 9 } \\ { 3 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=-2$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+2y=-9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-2y-9$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-9\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -2y-9ని గుణించండి.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-2y-9}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x-4y=-8.

$$3\left(-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}\right)-4y=-8$$

3 సార్లు \frac{-2y-9}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{6}{5}y-\frac{27}{5}-4y=-8$$

-4yకు -\frac{6y}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{26}{5}y-\frac{27}{5}=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{27}{5}ని కూడండి.

$$-\frac{26}{5}y=-\frac{13}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{26}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{1}{2}$$

x=-\frac{2}{5}y-\frac{9}{5}లో yను \frac{1}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}-\frac{9}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{2}{5} సార్లు \frac{1}{2}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{-1-9}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{1}{5}కు -\frac{9}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\3&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-2\times 3}&-\frac{2}{5\left(-4\right)-2\times 3}\\-\frac{3}{5\left(-4\right)-2\times 3}&\frac{5}{5\left(-4\right)-2\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\\frac{3}{26}&-\frac{5}{26}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-8\right)\\\frac{3}{26}\left(-9\right)-\frac{5}{26}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\\frac{1}{2}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+2y=-9,3x-4y=-8$$

5x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$3\times 5x+3\times 2y=3\left(-9\right),5\times 3x+5\left(-4\right)y=5\left(-8\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$15x+6y=-27,15x-20y=-40$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 15x-20y=-40ని 15x+6y=-27 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$15x-15x+6y+20y=-27+40$$

-15xకు 15xని కూడండి. 15x మరియు -15x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y+20y=-27+40$$

20yకు 6yని కూడండి.

$$26y=-27+40$$

40కు -27ని కూడండి.

$$26y=13$$

రెండు వైపులా 26తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{2}$$

3x-4y=-8లో yను \frac{1}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-4\times \frac{1}{2}=-8$$

-4 సార్లు \frac{1}{2}ని గుణించండి.

$$3x-2=-8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2ని కూడండి.

$$3x=-6$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=-2$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-2,y=\frac{1}{2}$$