{l}{5x+2y=-6}{2x+5y=8} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 6 } \\ { 2 x + 5 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{46}{21} = -2\frac{4}{21} \approx -2.19047619$$

$$y = \frac{52}{21} = 2\frac{10}{21} \approx 2.476190476$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$5x+2y=-6$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$5x=-2y-6$$

రెండు వైపులా 5తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-6\right)$$

\frac{1}{5} సార్లు -2y-6ని గుణించండి.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-2y-6}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+5y=8.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}\right)+5y=8$$

2 సార్లు \frac{-2y-6}{5}ని గుణించండి.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{12}{5}+5y=8$$

5yకు -\frac{4y}{5}ని కూడండి.

$$\frac{21}{5}y-\frac{12}{5}=8$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{12}{5}ని కూడండి.

$$\frac{21}{5}y=\frac{52}{5}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{21}{5}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{52}{21}$$

x=-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}లో yను \frac{52}{21} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{2}{5}\times \frac{52}{21}-\frac{6}{5}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{2}{5} సార్లు \frac{52}{21}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{104}{105}-\frac{6}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{104}{105}కు -\frac{6}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{46}{21}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-2\times 2}&-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}\\-\frac{2}{5\times 5-2\times 2}&\frac{5}{5\times 5-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}&-\frac{2}{21}\\-\frac{2}{21}&\frac{5}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\8\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{21}\left(-6\right)-\frac{2}{21}\times 8\\-\frac{2}{21}\left(-6\right)+\frac{5}{21}\times 8\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{46}{21}\\\frac{52}{21}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$5x+2y=-6,2x+5y=8$$

5x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 5తో గుణించండి.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-6\right),5\times 2x+5\times 5y=5\times 8$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$10x+4y=-12,10x+25y=40$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 10x+25y=40ని 10x+4y=-12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$10x-10x+4y-25y=-12-40$$

-10xకు 10xని కూడండి. 10x మరియు -10x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4y-25y=-12-40$$

-25yకు 4yని కూడండి.

$$-21y=-12-40$$

-40కు -12ని కూడండి.

$$-21y=-52$$

రెండు వైపులా -21తో భాగించండి.

$$y=\frac{52}{21}$$

2x+5y=8లో yను \frac{52}{21} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+5\times \frac{52}{21}=8$$

5 సార్లు \frac{52}{21}ని గుణించండి.

$$2x+\frac{260}{21}=8$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{260}{21}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-\frac{92}{21}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{46}{21}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{46}{21},y=\frac{52}{21}$$