{l}{48x+40y=1280}{120x+80y=2800} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1280 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=10$$

$$y=20$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$48x+40y=1280$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 40yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$48x=-40y+1280$$

రెండు వైపులా 48తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1280\right)$$

\frac{1}{48} సార్లు -40y+1280ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}\right)+80y=2800$$

120 సార్లు -\frac{5y}{6}+\frac{80}{3}ని గుణించండి.

$$-100y+3200+80y=2800$$

80yకు -100yని కూడండి.

$$-20y+3200=2800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3200ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-20y=-400$$

రెండు వైపులా -20తో భాగించండి.

$$y=20$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{80}{3}లో yను 20 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{6}\times 20+\frac{80}{3}$$

-\frac{5}{6} సార్లు 20ని గుణించండి.

$$x=\frac{-50+80}{3}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{50}{3}కు \frac{80}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=10$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=10,y=20$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1280\\2800\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1280+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1280-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\20\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=10,y=20$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$48x+40y=1280,120x+80y=2800$$

48x మరియు 120xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 120తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 48తో గుణించండి.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1280,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$5760x+4800y=153600,5760x+3840y=134400$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5760x+3840y=134400ని 5760x+4800y=153600 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=153600-134400$$

-5760xకు 5760xని కూడండి. 5760x మరియు -5760x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4800y-3840y=153600-134400$$

-3840yకు 4800yని కూడండి.

$$960y=153600-134400$$

-134400కు 153600ని కూడండి.

$$960y=19200$$

రెండు వైపులా 960తో భాగించండి.

$$y=20$$

120x+80y=2800లో yను 20 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$120x+80\times 20=2800$$

80 సార్లు 20ని గుణించండి.

$$120x+1600=2800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 1600ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$120x=1200$$

రెండు వైపులా 120తో భాగించండి.

$$x=10$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=10,y=20$$