{l}{48x+40y=1200}{120x+80y=2800} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 48 x + 40 y = 1200 } \\ { 120 x + 80 y = 2800 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

$$y=10$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$48x+40y=1200$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 40yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$48x=-40y+1200$$

రెండు వైపులా 48తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{48}\left(-40y+1200\right)$$

\frac{1}{48} సార్లు -40y+1200ని గుణించండి.

$$x=-\frac{5}{6}y+25$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{5y}{6}+25 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 120x+80y=2800.

$$120\left(-\frac{5}{6}y+25\right)+80y=2800$$

120 సార్లు -\frac{5y}{6}+25ని గుణించండి.

$$-100y+3000+80y=2800$$

80yకు -100yని కూడండి.

$$-20y+3000=2800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3000ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-20y=-200$$

రెండు వైపులా -20తో భాగించండి.

$$y=10$$

x=-\frac{5}{6}y+25లో yను 10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{5}{6}\times 10+25$$

-\frac{5}{6} సార్లు 10ని గుణించండి.

$$x=-\frac{25}{3}+25$$

-\frac{25}{3}కు 25ని కూడండి.

$$x=\frac{50}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}48&40\\120&80\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{80}{48\times 80-40\times 120}&-\frac{40}{48\times 80-40\times 120}\\-\frac{120}{48\times 80-40\times 120}&\frac{48}{48\times 80-40\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{24}\\\frac{1}{8}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1200\\2800\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 1200+\frac{1}{24}\times 2800\\\frac{1}{8}\times 1200-\frac{1}{20}\times 2800\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\10\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$48x+40y=1200,120x+80y=2800$$

48x మరియు 120xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 120తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 48తో గుణించండి.

$$120\times 48x+120\times 40y=120\times 1200,48\times 120x+48\times 80y=48\times 2800$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$5760x+4800y=144000,5760x+3840y=134400$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 5760x+3840y=134400ని 5760x+4800y=144000 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$5760x-5760x+4800y-3840y=144000-134400$$

-5760xకు 5760xని కూడండి. 5760x మరియు -5760x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4800y-3840y=144000-134400$$

-3840yకు 4800yని కూడండి.

$$960y=144000-134400$$

-134400కు 144000ని కూడండి.

$$960y=9600$$

రెండు వైపులా 960తో భాగించండి.

$$y=10$$

120x+80y=2800లో yను 10 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$120x+80\times 10=2800$$

80 సార్లు 10ని గుణించండి.

$$120x+800=2800$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 800ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$120x=2000$$

రెండు వైపులా 120తో భాగించండి.

$$x=\frac{50}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{50}{3},y=10$$