{l}{40x+720y=112}{120x+2205y=340.5} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 40 x + 720 y = 112 } \\ { 120 x + 2205 y = 340.5 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=0.1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$40x+720y=112$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 720yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$40x=-720y+112$$

రెండు వైపులా 40తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{40}\left(-720y+112\right)$$

\frac{1}{40} సార్లు -720y+112ని గుణించండి.

$$x=-18y+\frac{14}{5}$$

మరొక సమీకరణములో xను -18y+\frac{14}{5} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 120x+2205y=340.5.

$$120\left(-18y+\frac{14}{5}\right)+2205y=340.5$$

120 సార్లు -18y+\frac{14}{5}ని గుణించండి.

$$-2160y+336+2205y=340.5$$

2205yకు -2160yని కూడండి.

$$45y+336=340.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 336ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$45y=4.5$$

రెండు వైపులా 45తో భాగించండి.

$$y=0.1$$

x=-18y+\frac{14}{5}లో yను 0.1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-18\times 0.1+\frac{14}{5}$$

-18 సార్లు 0.1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-9+14}{5}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -1.8కు \frac{14}{5}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=0.1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&720\\120&2205\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2205}{40\times 2205-720\times 120}&-\frac{720}{40\times 2205-720\times 120}\\-\frac{120}{40\times 2205-720\times 120}&\frac{40}{40\times 2205-720\times 120}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}&-\frac{2}{5}\\-\frac{1}{15}&\frac{1}{45}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}112\\340.5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{40}\times 112-\frac{2}{5}\times 340.5\\-\frac{1}{15}\times 112+\frac{1}{45}\times 340.5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\\frac{1}{10}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$40x+720y=112,120x+2205y=340.5$$

40x మరియు 120xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 120తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 40తో గుణించండి.

$$120\times 40x+120\times 720y=120\times 112,40\times 120x+40\times 2205y=40\times 340.5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$4800x+86400y=13440,4800x+88200y=13620$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4800x+88200y=13620ని 4800x+86400y=13440 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4800x-4800x+86400y-88200y=13440-13620$$

-4800xకు 4800xని కూడండి. 4800x మరియు -4800x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$86400y-88200y=13440-13620$$

-88200yకు 86400yని కూడండి.

$$-1800y=13440-13620$$

-13620కు 13440ని కూడండి.

$$-1800y=-180$$

రెండు వైపులా -1800తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{10}$$

120x+2205y=340.5లో yను \frac{1}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$120x+2205\times \frac{1}{10}=340.5$$

2205 సార్లు \frac{1}{10}ని గుణించండి.

$$120x+\frac{441}{2}=340.5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{441}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$120x=120$$

రెండు వైపులా 120తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=\frac{1}{10}$$