{l}{4x-2y=1}{6x+3y=3} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x - 2 y = 1 } \\ { 6 x + 3 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{3}{8}=0.375$$

$$y=\frac{1}{4}=0.25$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x-2y=1,6x+3y=3$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x-2y=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 2yని కూడండి.

$$4x=2y+1$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(2y+1\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు 2y+1ని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{2}+\frac{1}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x+3y=3.

$$6\left(\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+3y=3$$

6 సార్లు \frac{y}{2}+\frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$3y+\frac{3}{2}+3y=3$$

3yకు 3yని కూడండి.

$$6y+\frac{3}{2}=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6y=\frac{3}{2}$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{4}$$

x=\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}లో yను \frac{1}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{1}{2}\times \frac{1}{4}+\frac{1}{4}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా \frac{1}{2} సార్లు \frac{1}{4}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{1}{8}కు \frac{1}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{3}{8}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{1}{4}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x-2y=1,6x+3y=3$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-2\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-\left(-2\times 6\right)}&-\frac{-2}{4\times 3-\left(-2\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 3-\left(-2\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 3-\left(-2\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}&\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\3\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{8}+\frac{1}{12}\times 3\\-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\times 3\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\\\frac{1}{4}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{1}{4}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x-2y=1,6x+3y=3$$

4x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$6\times 4x+6\left(-2\right)y=6,4\times 6x+4\times 3y=4\times 3$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$24x-12y=6,24x+12y=12$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 24x+12y=12ని 24x-12y=6 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$24x-24x-12y-12y=6-12$$

-24xకు 24xని కూడండి. 24x మరియు -24x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-12y-12y=6-12$$

-12yకు -12yని కూడండి.

$$-24y=6-12$$

-12కు 6ని కూడండి.

$$-24y=-6$$

రెండు వైపులా -24తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{4}$$

6x+3y=3లో yను \frac{1}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x+3\times \frac{1}{4}=3$$

3 సార్లు \frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$6x+\frac{3}{4}=3$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{3}{4}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x=\frac{9}{4}$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{3}{8}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{3}{8},y=\frac{1}{4}$$