{l}{4x+y=9}{2x+y=7} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + y = 9 } \\ { 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+y=9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-y+9$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+9\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -y+9ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+9}{4} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+y=7.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}\right)+y=7$$

2 సార్లు \frac{-y+9}{4}ని గుణించండి.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}+y=7$$

yకు -\frac{y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{9}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{4}y+\frac{9}{4}లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{4}\times 5+\frac{9}{4}$$

-\frac{1}{4} సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=\frac{-5+9}{4}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{5}{4}కు \frac{9}{4}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 9-\frac{1}{2}\times 7\\-9+2\times 7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+y=9,2x+y=7$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 2x+y=7ని 4x+y=9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-2x+y-y=9-7$$

-yకు yని కూడండి. y మరియు -y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4x-2x=9-7$$

-2xకు 4xని కూడండి.

$$2x=9-7$$

-7కు 9ని కూడండి.

$$2x=2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=1$$

2x+y=7లో xను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2+y=7$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$y=5$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=5$$