{l}{4x+8y=56}{3x-7y=-23} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 8 y = 56 } \\ { 3 x - 7 y = - 23 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=4$$

$$y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+8y=56,3x-7y=-23$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+8y=56$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 8yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-8y+56$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-8y+56\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -8y+56ని గుణించండి.

$$x=-2y+14$$

మరొక సమీకరణములో xను -2y+14 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 3x-7y=-23.

$$3\left(-2y+14\right)-7y=-23$$

3 సార్లు -2y+14ని గుణించండి.

$$-6y+42-7y=-23$$

-7yకు -6yని కూడండి.

$$-13y+42=-23$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 42ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-13y=-65$$

రెండు వైపులా -13తో భాగించండి.

$$y=5$$

x=-2y+14లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-2\times 5+14$$

-2 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$x=-10+14$$

-10కు 14ని కూడండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=5$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+8y=56,3x-7y=-23$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&8\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}56\\-23\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&8\\3&-7\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&8\\3&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\-23\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\-23\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&8\\3&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}56\\-23\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-8\times 3}&-\frac{8}{4\left(-7\right)-8\times 3}\\-\frac{3}{4\left(-7\right)-8\times 3}&\frac{4}{4\left(-7\right)-8\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\-23\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}&\frac{2}{13}\\\frac{3}{52}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}56\\-23\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{52}\times 56+\frac{2}{13}\left(-23\right)\\\frac{3}{52}\times 56-\frac{1}{13}\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=4,y=5$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+8y=56,3x-7y=-23$$

4x మరియు 3xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$3\times 4x+3\times 8y=3\times 56,4\times 3x+4\left(-7\right)y=4\left(-23\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$12x+24y=168,12x-28y=-92$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 12x-28y=-92ని 12x+24y=168 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x-12x+24y+28y=168+92$$

-12xకు 12xని కూడండి. 12x మరియు -12x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$24y+28y=168+92$$

28yకు 24yని కూడండి.

$$52y=168+92$$

92కు 168ని కూడండి.

$$52y=260$$

రెండు వైపులా 52తో భాగించండి.

$$y=5$$

3x-7y=-23లో yను 5 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$3x-7\times 5=-23$$

-7 సార్లు 5ని గుణించండి.

$$3x-35=-23$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 35ని కూడండి.

$$3x=12$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$x=4$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=4,y=5$$