{l}{4x+3y+14=0}{2x+5y+16=0} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 3 y + 14 = 0 } \\ { 2 x + 5 y + 16 = 0 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{11}{7} = -1\frac{4}{7} \approx -1.571428571$$

$$y = -\frac{18}{7} = -2\frac{4}{7} \approx -2.571428571$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+3y+14=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 14ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x+3y=-14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-3y-14$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y-14\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -3y-14ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+5y+16=0.

$$2\left(-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}\right)+5y+16=0$$

2 సార్లు -\frac{3y}{4}-\frac{7}{2}ని గుణించండి.

$$-\frac{3}{2}y-7+5y+16=0$$

5yకు -\frac{3y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{7}{2}y-7+16=0$$

16కు -7ని కూడండి.

$$\frac{7}{2}y+9=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{7}{2}y=-9$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{7}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=-\frac{18}{7}$$

x=-\frac{3}{4}y-\frac{7}{2}లో yను -\frac{18}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{18}{7}\right)-\frac{7}{2}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{3}{4} సార్లు -\frac{18}{7}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{27}{14}-\frac{7}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{27}{14}కు -\frac{7}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{11}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\2&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3\times 2}&-\frac{3}{4\times 5-3\times 2}\\-\frac{2}{4\times 5-3\times 2}&\frac{4}{4\times 5-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}&-\frac{3}{14}\\-\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-14\\-16\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{14}\left(-14\right)-\frac{3}{14}\left(-16\right)\\-\frac{1}{7}\left(-14\right)+\frac{2}{7}\left(-16\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{7}\\-\frac{18}{7}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+3y+14=0,2x+5y+16=0$$

4x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$2\times 4x+2\times 3y+2\times 14=0,4\times 2x+4\times 5y+4\times 16=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x+6y+28=0,8x+20y+64=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x+20y+64=0ని 8x+6y+28=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x+6y-20y+28-64=0$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$6y-20y+28-64=0$$

-20yకు 6yని కూడండి.

$$-14y+28-64=0$$

-64కు 28ని కూడండి.

$$-14y-36=0$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 36ని కూడండి.

$$-14y=36$$

రెండు వైపులా -14తో భాగించండి.

$$y=-\frac{18}{7}$$

2x+5y+16=0లో yను -\frac{18}{7} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+5\left(-\frac{18}{7}\right)+16=0$$

5 సార్లు -\frac{18}{7}ని గుణించండి.

$$2x-\frac{90}{7}+16=0$$

16కు -\frac{90}{7}ని కూడండి.

$$2x+\frac{22}{7}=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{22}{7}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-\frac{22}{7}$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=-\frac{11}{7}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=-\frac{11}{7},y=-\frac{18}{7}$$