{l}{4x+2y=25,2}{5y+x=32} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 25,2 } \\ { 5 y + x = 32 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{31}{9} = 3\frac{4}{9} \approx 3.444444444$$

$$y = \frac{257}{45} = 5\frac{32}{45} \approx 5.711111111$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+2y=25.2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-2y+25.2$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+25.2\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -2y+25.2ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}$$

మరొక సమీకరణములో xను -\frac{y}{2}+\frac{63}{10} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+5y=32.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}+5y=32$$

5yకు -\frac{y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{9}{2}y+\frac{63}{10}=32$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{63}{10}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{9}{2}y=\frac{257}{10}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{2}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{257}{45}$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{63}{10}లో yను \frac{257}{45} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\times \frac{257}{45}+\frac{63}{10}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{1}{2} సార్లు \frac{257}{45}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{257}{90}+\frac{63}{10}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{257}{90}కు \frac{63}{10}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{31}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-2}&-\frac{2}{4\times 5-2}\\-\frac{1}{4\times 5-2}&\frac{4}{4\times 5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}&-\frac{1}{9}\\-\frac{1}{18}&\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}25.2\\32\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{18}\times 25.2-\frac{1}{9}\times 32\\-\frac{1}{18}\times 25.2+\frac{2}{9}\times 32\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{9}\\\frac{257}{45}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+2y=25.2,x+5y=32$$

4x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$4x+2y=25.2,4x+4\times 5y=4\times 32$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$4x+2y=25.2,4x+20y=128$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4x+20y=128ని 4x+2y=25.2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4x+2y-20y=25.2-128$$

-4xకు 4xని కూడండి. 4x మరియు -4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2y-20y=25.2-128$$

-20yకు 2yని కూడండి.

$$-18y=25.2-128$$

-128కు 25.2ని కూడండి.

$$-18y=-102.8$$

రెండు వైపులా -18తో భాగించండి.

$$y=\frac{257}{45}$$

x+5y=32లో yను \frac{257}{45} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+5\times \frac{257}{45}=32$$

5 సార్లు \frac{257}{45}ని గుణించండి.

$$x+\frac{257}{9}=32$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{257}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{31}{9}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{31}{9},y=\frac{257}{45}$$