{l}{4x+2y=190}{x+y=70} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 190 } \\ { x + y = 70 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=25$$

$$y=45$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+2y=190,x+y=70$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+2y=190$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-2y+190$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+190\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -2y+190ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{95}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y+95}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=70.

$$-\frac{1}{2}y+\frac{95}{2}+y=70$$

yకు -\frac{y}{2}ని కూడండి.

$$\frac{1}{2}y+\frac{95}{2}=70$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{95}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{2}y=\frac{45}{2}$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$y=45$$

x=-\frac{1}{2}y+\frac{95}{2}లో yను 45 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\times 45+\frac{95}{2}$$

-\frac{1}{2} సార్లు 45ని గుణించండి.

$$x=\frac{-45+95}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{45}{2}కు \frac{95}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=25$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=25,y=45$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+2y=190,x+y=70$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}190\\70\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\70\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\70\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}190\\70\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-2}&-\frac{2}{4-2}\\-\frac{1}{4-2}&\frac{4}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}190\\70\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-1\\-\frac{1}{2}&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}190\\70\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 190-70\\-\frac{1}{2}\times 190+2\times 70\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}25\\45\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=25,y=45$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+2y=190,x+y=70$$

4x మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$4x+2y=190,4x+4y=4\times 70$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$4x+2y=190,4x+4y=280$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 4x+4y=280ని 4x+2y=190 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x-4x+2y-4y=190-280$$

-4xకు 4xని కూడండి. 4x మరియు -4x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$2y-4y=190-280$$

-4yకు 2yని కూడండి.

$$-2y=190-280$$

-280కు 190ని కూడండి.

$$-2y=-90$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$y=45$$

x+y=70లో yను 45 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+45=70$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=25$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=25,y=45$$