{l}{4x+2y=-2}{2x+3y=-7} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = - 2 } \\ { 2 x + 3 y = - 7 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$4x+2y=-2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$4x=-2y-2$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y-2\right)$$

\frac{1}{4} సార్లు -2y-2ని గుణించండి.

$$x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-y-1}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+3y=-7.

$$2\left(-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}\right)+3y=-7$$

2 సార్లు \frac{-y-1}{2}ని గుణించండి.

$$-y-1+3y=-7$$

3yకు -yని కూడండి.

$$2y-1=-7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 1ని కూడండి.

$$2y=-6$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=-3$$

x=-\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-3\right)-\frac{1}{2}$$

-\frac{1}{2} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{3-1}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{3}{2}కు -\frac{1}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 2}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 2}\\-\frac{2}{4\times 3-2\times 2}&\frac{4}{4\times 3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}&-\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\-7\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8}\left(-2\right)-\frac{1}{4}\left(-7\right)\\-\frac{1}{4}\left(-2\right)+\frac{1}{2}\left(-7\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$4x+2y=-2,2x+3y=-7$$

4x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి.

$$2\times 4x+2\times 2y=2\left(-2\right),4\times 2x+4\times 3y=4\left(-7\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x+4y=-4,8x+12y=-28$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x+12y=-28ని 8x+4y=-4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x+4y-12y=-4+28$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$4y-12y=-4+28$$

-12yకు 4yని కూడండి.

$$-8y=-4+28$$

28కు -4ని కూడండి.

$$-8y=24$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$y=-3$$

2x+3y=-7లో yను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+3\left(-3\right)=-7$$

3 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$2x-9=-7$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 9ని కూడండి.

$$2x=2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=-3$$